Formulas V1

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FLUIDODINAMICA 2020 FORMULARIO E GUIDA AGLI ESERCIZI 1. Richiami matematici e teorici Questa sezione include formule che dovrebbero essere sapute a memoria. 1.1 Nabla /.null Operatore nabla: /.null Gradiente: /.null Divergenza: /.null Rotore: /.null 1.2. Teorema di Gauss /.null 1.3. Teorema della Divergenza /.null 1.4. Teorema di Stokes /.null ∇ ¯∇=¯e1 ∂ ∂x1 +¯e2 ∂ ∂x2 +¯e3 ∂ ∂x3 =¯ei ∂ ∂xi ¯∇¯ϕ=¯ei ∂ψ ∂xi ¯∇⋅¯ϕ=∂ϕ1 ∂x1 +∂ϕ2 ∂x2 +∂ϕ3 ∂x3 =∂ϕi ∂xi ¯∇∧¯ϕ=( ∂ϕ3 ∂x2 −∂ϕ2 ∂x3)( ∂1ϕ ∂x3 −∂3ϕ ∂x1)( ∂ϕ2 ∂x1 −∂ϕ1 ∂x2) ∫∫∫V ∂Q ∂xi ⋅dV=∫∫A ni⋅Q⋅dA ∫∫∫v ¯∇⋅¯Q⋅dV=∫∫A ̂n⋅¯Q⋅dA ∫∫a (¯∇∧¯u)⋅̂n⋅dA=∫S ¯u⋅¯t⋅ds 1.5 Teorema del Trasporto di Reynolds /.null 1.6. Conservazione della Massa Forma integrale: /.null Forma differenziale: /.null Forma convettiva: /.null 1.7. Conservazione della Quantità di Moto Forma integrale: /.null Forma differenziale: /.null Forma convettiva: /.null Forma del Crocco: /.null d dt∫V*(t) F(¯x,¯t)dV=∫V*(t) ∂F(¯x,¯t) ∂t dV+∫A*(t) F(¯x,¯t)⋅¯b⋅̂ndA d dt∫V*(t) ρ(¯x,¯t)dV+∫A*(t) ρ(¯x,¯t)[¯u(¯x,¯t)−¯b(¯x,¯t)]dA=0 ∂ρ ∂t+¯∇⋅(ρ¯u)=0 Dρ Dt+ρ¯∇¯u=0 d dt∫V*(t) ρ¯udV+∫A*(t) ρ¯u[¯u−¯b]dA=∫V*(t) ρ¯gdV+∫A*t ¯f(̂n,¯x,t)dA ∂(ρ¯u) ∂t +¯∇⋅(ρ¯u¯u)−ρ¯g−¯∇¯τ=0 ρD¯u Dt=ρ¯g+¯∇¯τ ∂¯u ∂t+¯∇(p+v2 2)+¯ω∧¯u=¯g 1.8. Conservazione dell’Energia Forma integrale: /.null Forma differenziale: /.null Forma convettiva: /.null 1.9. Relazione costitutiva Per un fluido Newtoniano: /.null Per un flusso incompressibile: /.null Ipotesi di stokes: /.null 1.10. Equazioni di Navier-Stokes In due dimensioni, coordinate cartesiane: d dt∫V* ρ(e+v2 2)dV+∫A* ρ(e+v2 2)(¯u−¯b)̂ndA=∫V* ρ¯g¯udV+∫A* ¯f¯udA−∫A* ¯q̂ndA ∂ ∂tρ(e+v2 2)+∂ ∂xi ρ(e+v2 2)ui =ρgiui+∂ ∂xi (τijuj)−∂qi ∂xj ρ D(e+v2 2) Dt +¯∇ρ¯u=0 τij=−pδij+λSmmδij+2μSij τij=−pδij+2μSij μv=λ+2 3μ=0 ∂u ∂t+u∂u ∂x+v∂u ∂y−ν( ∂2u ∂x2+∂2u ∂y2)+1 ρ ∂p ∂x=fx ∂v ∂t+u∂v ∂x+v∂v…