Funzioni Derivabili

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’ Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Appunti di lezione (H) 1 F unzioni derivabili 1.1 Derivata Sia x0 un punto interno dell’ intervalloI. Una funzione f : x7! y = f (x) : I! R è detta derivabile in x0 se lim x!x0 f (x) f (x0) x x0 esiste nito In tal caso il valore del limite è chiamato la derivata di f in x0 e viene indicato con il simbolo f0 (x0) (da leggersi “e¤ e primo dix0” ). Quindi lim x!x0 f (x) f (x0) x x0 =f0 (x0) (1) o, equivalentemente (con il cambio di variabile x x0 =
x), lim
x!0 f (x0 +
x) f (x0)
x =f0 (x0) In termini geometrici l’ espressione
f
x := f (x) f (x0) x x0 , x6=x0 (2) (detta rapporto incrementale1 di f in x0) rappresenta la pendenza della retta secante la curva cartesiana y = f (x) (il gra co di f ) nei punti P0 0Aggiornamento: 13 novembre 2018 1perché rapporto fra l’ incremento
f = f (x) f (x0) del valore della funzione e l’ incremento
x =x x0 della variabile indipendente. M. V erri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 2 (x0;f (x0)) e P  (x;f (x)). F are il limite di tale rapporto per x! x0 signi ca tenere sso il punto P0 e spostare P sul gra co no a portarlo a coincidere conP0. Se la funzione è derivabile, il numero f0 (x0) si interpreta, dunque, come la pendenza della retta tangente al gra co inP0. Poiché tale retta passa per il punto P0, la sua equazione cartesiana è y =f (x0) + (x x0)f0 (x0) (3) Esempio. Calcoliamo con la de nizione la derivata dif (x) = p 2x nel punto x0 = 2: f0 (2) = lim x!2 f (x) f (2) x 2 = lim x!2 p 2x p 4 x 2 = lim x!2 p 2px + p 2 = 1 2 L’ equazione della retta tangente al gra co inP0 (2; 2) èy = x 2 + 1. 0 1 2 3 0 1 2 3 x y La funzione f (x) = p 2x e la retta tangente in P0 (2; 2). Ex. Siaf (x)…