GEOMETRIA DELLE CURVE RIEPILOGO TEORICO ED ESERCIZI

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GEOMETRIA DELLE CURVE: RIEPILOGO TEORICO ED ESERCIZI§1TRIEDRO MOBILE E FORMULE DI FRENET-SERRETUna funzione γ:tr(t) di classe Ck (qui sopporremo k≥2) da un intervallo finito o infinito I di Ra R3 con r(t)≠0 per t∈I prende il nome di curva regolare. Se r(t)≠0 salvo che in punti isolati diremoγ curva regolare a tratti ; essa permane chiaramente regolare in ogni tratto in cui r(t)≠0. Ancora: seγ:tr(t) è iniettiva parleremo di curva semplice o non intrecciata. In ogni caso chiameremo l’immagineγ*=r(t):t∈I{} di γ curva sostegno.Possiamo interpretare tr(t) come funzione di movimento di un punto materiale P nell’ordinariospazio tridimensionale euclideo; v(t):=r(t) è in tal caso la velocità istantanea di P mentre a(t)=r(t) è la suaaccelerazione. L’ipotesi di regolarità a tratti comporta che v sia costantemente diversa da 0 salvo,eventualmente, che in un numero finito di istanti. In questo contesto la curva sostegno γ* altro non è che latraiettoria della particella.Sappiamo che s(t)=r(τ)dτt0t∫ – detta ascissa curvilinea – è la lunghezza del tratto della curvasostegno che va r(t0) a r(t).Per il teorema fondamentale del calcolo integrale s(t)=||r(t)||>0 ∀t∈I se la curva è regolare, mentre s(t)≥0(con s(t)=0 in punti isolati) se è regolare a tratti. In entrambi questi casi la funzione ts(t) è strettamentecrescente e definisce un omeomorfismo; più specificatamente: un diffeomorfismo in ogni tratto (aperto) diregolarità. Qui e nel seguito considereremo (salvo esplicito avviso del contrario) curve regolari.Poiché ddt=sdds e dds=1sddt abbiamo r(t)=s(t)drds. Ma s(t)=||r(t)|| quindi drds=1. Il versore t:=drds prende il nomedi tangente unitaria alla curva. In conclusione:r(t)=s(t)t(t)Chiaramente t=t(t(s)) è derivabile e dtds=ddsddsr=1s2r−ss3rINCISOSe r(t)=0…