III appello 08 07 24 traccia soluzioni

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NOME: Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] III Appello - 8 Giugno 2024 0. Esercizi Preliminari [Tempo 10 min] ScrivereVEROoF ALSOaccanto a ciascuna a↵ermazione: •Sef`e d e r i v a b i l e i n [a, b]a l l o r af0`e u n a f u n z i o n e c o n t i n u a s u [a, b].......... •Ogni funzionef:[ 0,1]!R`e c o n t i n u a a l m e n o i n u n p u n t o .......... •Sef` e una funzioni integrabile in senso improprio in (0,1), allora il suo quadratof2`e integrabile in senso improprio in (0,1).......... 1 F F F 1) f(x)= 2 +SubX0 f(x)= SamE-costoO X=0 *= 0 ↓hapuntodidiscontinuitàdiIspecem +=o 2)f(x)= SXEQ ediscentinam x,FxERXCIRIQ 3)Co= 2 Cod= +o Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] III Appello - 8 Giugno 2024 1. Teoria [Tempo 50 min] 1.Siaf:[a, b]!Runa funzione assegnata. 1.1[2 punti] Dare la definizionefconvessa, fornendo un’interpretazione geometrica di tale definizione. 1.2[2 punti] Siafpositiva e due volte derivabile. Dimostrare o confutare con un controesempio le seguenti implicazioni: (i)logfconvessa)fconvessa. (ii)fconvessa)logfconvessa. 1.3[2 punti] Mostrare chef`e c o n v e s s a s e e s o l o s e v a l e l a s e g u e n t e p r o p r i e t `a : Dati tre punti qualsiasiax<z<y b, si ha che il coe ciente angolare della retta passante per i punti (y, f(y)) e (x, f(x)) ` e maggiore o uguale del coe ciente angolare della retta passante per (x, f(x)) e (z, f(z)). 2.Siaf:I!Runa funzione assegnata, doveI⇢R`e u n i n t e r v a l l o q u a l s i a s i . 2.1[2 punti] Dare la definizione di supIfed im a xIf. 2.2[2 punti] Sotto quali ipotesi, e in virt` u di quale teorema, possiamo garantire che esiste maxIf? 2.3[2 punti] Data un’altra…