Laboratorio 0 Introduzione al calcolo numerico

Page 1

— Dinamica di Sistemi Aerospaziali — Laboratorio n. 0 Introduzione al calcolo numerico V. Muscarello - T. Solcia - A. Zanoni 28 settembre 2018 Indice 0.1 Algoritmo di Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.1.1 Equazione non-lineare scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.1.2 Sistema di equazioni non-lineari . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.2 Integrazione numerica di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . 7 0.2.1 Sistema a un grado di libert` a . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 Laboratorio #0 Questo laboratorio serve a familiarizzare con Matlab (o Oct ave1) e a “togliersi di dosso la ruggine”, implementando in modo autonomo o utilizz ando alcuni semplici algoritmi di uso comune che saranno necessari in laboratori successivi. In particolare: • si implementa l’algoritmo di Newton-Raphson per la soluzion e di equazioni nonlineari, sia scalari che vettoriali; inoltre, • si integrano nel tempo problemi ai valori iniziali descritt i da equazioni diffe- renziali ordinarie, utilizzando gli algoritmi implementa ti nelle funzioni Matlab tipo ode45 e ode23. 0.1 Algoritmo di Newton-Raphson Spesso occorre determinare le radici di equazioni o sistemi di equazioni non-lineari. Quando ci` o non sia possibile per via analitica, occorre det erminarle numericamente. Quello di Newton-Raphson ` e l’algoritmo pi` u semplice e intu itivo per la soluzione di questo tipo di problemi. La soluzione del problema non-lineare tramite l’algoritmo di Newton-Raphson consiste nel linearizzare il problema f (x) = 0 (1) rispetto a una soluzione di partenza x(0) (soluzione iniziale di tentativo), f (x(0) + ∆x) ≈ f (x(0)) + ∂f ∂x ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ x0 ∆x, (2) per poi imporre che la funzione valutata per una perturbazio ne ∆ x si annulli, da cui si ricava ∆x = − J−1f (x(0)),…