Limiti

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’ Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Appunti di lezione (D) 1 Il concetto di limite L’operazione di limite per una funzione f reale di variabile reale intende descrivere il comportamento della funzione “vicino”ad un punto limite (che può essere un numero x0 oppure +1 oppure 1). Con l’ espressione “far tenderex al (punto limite) ...” si intende che è possibile considerare intorni sempre più piccoli del punto limite, e allora la domanda è: che cosa succede dei valori f (x) quando x tende al punto limite? Se avviene che tali valori si avvicinino sempre di più ad un valore limite (che può essere un numero L oppure +1 oppure 1), si dice che “ f (x) tende al (valore limite) ... per x tendente al (punto limite) ...” . Esaminiamo ora in dettaglio le varie situazioni che si possono presentare. 1.1 Limite nito al nito (caso bilatero) Consideriamo una funzione f : (a;b )!R e sia x0 un punto interno all’ in- tervallo di de nizione, cioèx02 (a;b ). Se avviene che il valore f (x) diventa sempre più vicino al numero L quanto più x (conx6=x0) si avvicina ad x0, si dice che “il limite di f (x), per x che tende a x0, è L”e si scrive lim x!x0 f (x) = L (1) oppure f (x)!L per x!x0 (“f (x) tende ad L per x tendente a x0” ). Il numerox0 è il punto limite e il numeroL è il corrispondente valore limite. 0Aggiornamento: 13 ottobre 2020 M. V erri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 2  È importante capire bene che, nella ricerca del valore limite, non va considerato il punto x = x0: ciò che in‡ uenza il valore limite è il comportamento della funzione vicino ad x0 (o, come si suol dire, nel- l’ intorno dix0) e non il valore di f in x0, per cui può anche accadere che siaL6=f (x0). Se è L…