Limits and continuity

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Limiti e continuit` a 1. Calcolare i seguenti limiti: 1) lim (x,y)→(0,0) sin(xy) y 2) lim (x,y)→(0,0) 2x2y x2 + y2 3) lim (x,y)→(0,0) (x2 + y2) log √ x2 + y2 4) lim (x,y)→(2,1) (y − 1)2 sin(πx) (x − 2)2 + (y − 1)2 5) lim (x,y)→(0,0) log(xy)√x2 − y2 6) lim (x,y)→(0,0) sin x sin y sin xy 7) lim (x,y)→(0,0) √ |x|sin 1 x2 + y2 8) lim (x,y)→(1,0) y2 log x x2 − 2x + 1 + y2 2. Si mostri che non esistono i seguenti limiti: 1) lim (x,y)→(0,0) xy x2 + y2 2) lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 x 3) lim (x,y)→(0,1) log(x + y) x 4) lim (x,y)→(0,0) xe x y 3. Calcolare il limite di x2y x4 + y2 quando ( x, y) → (0, 0) lungo le rette per l’origine; dimostrare che non esiste lim (x,y)→(0,0) x2y x4 + y2 . 1 4. Stabilire dove ` e continua la funzione f (x, y) =    x sin y√x2 + y2 se ( x, y) ̸= (0, 0) 0 se ( x, y) = (0 , 0) 5. Stabilire dove ` e continua la funzione f (x, y) =    (x + y)2 x2 + y2 se ( x, y) ̸= (0, 0) 0 se ( x, y) = (0 , 0) 6. Siano f (x, y) = sin(x2 + y2) x2 + y2 e g(x, y) = x2 − y2 x2 + y2 . Si determini il loro insieme di definizione e si stabilisca se possono essere estese con continuit` a a tuttoR2. 7. Sia f (x, y) = x3 + y2 xy . a) Si determini l’ insieme di definizione D di f ; b) si calcoli il lim (x,y)→(0,0) f (x, y); c) si stabilisca se f pu` o essere estesa con continuit` a aR2 \ {(0, 0)}. 8. Sia f (x, y) = e x2 y . a) Si determini l’ insieme di definizione D di f ; b) si calcoli il lim (x,y)→(0,0) f (x, y); c) si stabilisca se f pu` o essere estesa con continuit` a aR2 \ {(0, 0)}. 9. Sia f (x, y) = sin(xy) y . a) Si determini l’ insieme di definizione D di f ; b) si stabilisca se f pu` o essere estesa con continuit` a a tuttoR2. Soluzioni. 1. 1) lim (x,y)→(0,0) sin(xy) y = lim (x,y)→(0,0) sin(xy) xy x = 1 ·0 = 0 2) lim (x,y)→(0,0) 2x2y x2 + y2 = lim ρ→0 2ρ3 cos2 θ…