Linear algebra

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Algebra lineare 1. Riconoscere se il seguente insieme costituisce uno spazio vettoriale. In caso affermativo trovarne la dimensione e una base. ( Rn[x] denota lo spazio dei polinomi nell’indeterminata x a coefficienti reali, di grado al pi` u n) a) {(x, y, z) ∈R3 : x + 2y + z = 0} b) {(x, y, z) ∈R3 : x + y2 + z = 0} c) {(x, y, z) ∈R3 : x + 2y + z = 10} d) {ax2 + bx + c ∈R2[x] : 2 a + 3b = 0} e) {ax2 + bx + c ∈R2[x] : 2 a + 3b = 1} f)      a b c d   ∈ M (2, 2) : a + c + d = 0    g)      a b c d   ∈ M (2, 2) : a + c + d = 2    2. Sia E = {A ∈ M (3, 3) : A + AT = 0}; scrivere l’elemento generico di E, verificare che E ` e sottospazio vettoriale diM (3, 3), trovare la dimensione e una base. 3. Nella matrice A =   1 2 3 2 1 0 3 3 3   la terza riga ` e somma delle prime due; possiamo dedurre che la terza colonna ` e combinazione lineare delle prime due colonne? In caso affermativo, trovare i coefficienti di combinazione. 4. Sia V =R[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata x. Dati f (x) = 2 , g(x) = 1 + x, h(x) = x + x2, k(x) = 3 + 2x − x2, verificare che il sottospazio di V generato da f, g, h, k ha dimensione 3. L’insieme {g, h, k}, costituisce una base di tale sottospazio? 5. Stabilire per quali valori del parametro reale k le matrici: A =   k 1 −1 0   , B =   0 0 k 0   , C =   1 k −2 0   sono linearmente dipendenti. 1 6. Per quali valori del parametro reale k il polinomio 3 x2 + kx + 2 ` e com- binazione lineare dei polinomi x2 + 2x + 1 e x − 1? Trovare i coefficienti di combinazione. 7. Per quali valori di k la matrice A =   1 1 − k 2k −1   ` e invertibile? Per tali valori trovare la sua inversa. 8. Se A ` e una matrice di rango r allora: a) le prime r righe di A sono…