Logaritmi arcotangenti e pigreco

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22.Logaritmi , arcotangenti e /u03c0 La serie di Taylor f(x)/u003df(a)/u002bf’(a)(x-a)/u002b f/u2032/u2032/ue0a2a/ue0a3 2 /ue0a2x /u2212a/ue0a32 /u002b... /u002bf/u2032/ue0a2n/ue0a3/ue0a2a/ue0a3 n! /ue0a2x /u2212a/ue0a3n /u002bRn/ue0a2x, a/ue0a3(*) esprime il valore della funzione in x mediante il suo valore e il valore delle sue derivate in a, più un resto. E’ desiderabile scegliere il valore di a vicino al valore di x per cui si dev e calcolare la funzione allo scopo da rendere piccola (x-a) in modo che i termini della serie decr escano rapidamente al crescere di n. Quale valore di a si deve scegliere nella serie di Taylor per calcolare s in35°? Si potrebbe scegliere a /u003d0 e usare la serie sinx /u003dx- x3 3! /u002bx5 5! /u002b... /u002b/ue0a2/u22121/ue0a3n x2n/u002b1 /ue0a22n/u002b1/ue0a3! /u002bR2n/u002b2/ue0a2x, 0/ue0a3(**) oppure si può scegliere a /u003d/u03c0/6 e usare la serie sinx /u003dsin /u03c0 6 /u002bcos /u03c0 6 /ue0a2x /u2212/u03c0 6 /ue0a3/u2212sin /u03c0 6 /ue0a2x/u2212/u03c0 6 /ue0a32 2! /u002b... /u002bsin /ue0a2/u03c0 6 /u002bn /u03c0 2 /ue0a3 /ue0a2x/u2212/u03c0 6 /ue0a3n n! /u002bRn/ue0a2x, /u03c0 6 /ue0a3 Il resto della serie (**) soddisfa la disuguaglianza |R 2n/u002b2/ue0a2x, 0/ue0a3| /u2264|x|2n/u002b3 /ue0a22n/u002b3/ue0a3! che tende a zero quando n tende all’infinito. Si potrebbe calcolare sin 35° ponendo x /u003d 35/u03c0 180 nell’approssimazione sinx /u2248x /u2212x3 3! /u002bx5 5! /u2212x7 7! con un errore di valore assoluto non maggiore di 3,3x10 /u22128, poichè R8/ue0a235/u03c0 180 , 0/ue0a3/u003c/ue0a20,611/ue0a39 9! /u003c3,3x10/u22128 Usando la serie con a /u003d/u03c0/6 si potrebbe ottenere un’uguale precisione con un esponente n minore ma bisogna introdurre cos /u03c0/6 /u003d3/2 come uno dei coefficienti. Calcolo dei…