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Meccanica Aerospaziale Prova d’esame del 9 giugno 2023 - I Parte T empo a disposizione: 90′ Avvertenze • Il punteggio massimo attribuito a ciascuna domanda ` e riportato in parentesi []. • Un punteggio inferiore a 8 comporta l’insufficienza, quale che sia l’esito della II Parte. Esercizio Nel sistema in figura, posto nel piano verticale, una piattaforma AB di massa m scorre su una guida orizzontale fissa e liscia mediante i due vincoli di appoggio in A e B. Un disco omogeneo di massa 2 m e raggio 3 r rotola senza strisciare sulla piattaforma. Una molla di costante elastica k collega il centro C del disco all’estremit` aA della piattaforma. Un filo inestensibile e di massa trascurabile si avvolge senza strisciare su una scanalatura di raggio r, concentrica e solidale al disco, e poi si avvolge sul piolo M senza attrito. Il piolo M ` e posto alla stessa quota del puntoK in figura. All’estremit` a libera del filo ` e vincolato un punto materiale P di massa m, che pu` o muoversi solo verticalmente. Con riferimento alle coordinate libere x e θ in figura, all’istante iniziale t0 = 0, il sistema ` e in quiete conx(0) = 0, θ(0) = θ0 e la verticale passante per il centro del disco C dista r dal punto A in direzione i. Per tale sistema: 1. Esprimere le velocit` a del centro del discoC e del punto P in funzione delle coordinate libere e delle loro derivate [2]. 2. Scrivere la funzione di Lagrange del sistema [4]. 3. Derivare le equazioni del moto del sistema e calcolarne il moto a partire dalle condizioni iniziali fornite [4]. 4. Disegnare il diagramma di corpo libero del sistema [2]. 5. Calcolare in funzione del tempo la tensione del filo [3]. Figura 1: Schema del sistema 1