Meccanica Aerospaziale11 09 23

Page 1

Meccanica Aerospaziale Prova d’esame dell’11 settembre 2023 - I Parte T empo a disposizione: 90′ A vvertenze • Il punteggio massimo attribuito a ciascuna domanda è riportato in paren- tesi []. • Un punteggio inferiore a 8 comporta l’insufficienza, quale che sia l’esito della II Parte. Esercizio Un disco omogeneo di centro A, massaM e raggio R rotola senza strisciare su una guida orizzontale. Un’asta omogenea di massam e lunghezza l ha l’estre- mità A incernierata al centro del disco e l’altra estremità B che scorre lungo una guida verticale mediante un carrello liscio. Una molla orizzontale di costante elastica k collega un punto fisso C al centro A. la distanza tra C e la parete di destra è pari al. 1. Determinare il valore di k affinché il sistema rimanga in equilibrio con l’asta inclinata di un angoloϕ = π/3 rispetto alla direzione orizzontale. [4] 2. Nelle condizioni del punto 1 verificare che l’equilibrio è stabile e determi- nare il periodo delle piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio. [6] 3. Disegnare il diagramma di corpo libero del sistema. [2] 4. Si consideri nota la legge oraria del motoϕ(t) con le sue derivate temporali ˙ϕ(t) e ¨ϕ(t). Determinare la reazione vincolare agente sul carrello B. [3] C A x M, R y B m, l k φ l O 1 M.A. 11/9/2023 - Soluzione C A x M, R θy B k G φ l O 1. Indichiamo con G il baricentro dell’asta. Dalla figura otteniamo: { xA = l− l cos φ yA = R { xB = l yB = R− l sin φ { xG = l− l 2 cos φ yG = R− l 2 sin φ Inoltre per il vincolo di rotolamento: xA = Rθ L’energia potenziale del sistema è: V = 1 2 kx2 A + mgy G = 1 2 k(l− l cos φ)2 + mg ( R− l sin φ 2 ) dV dφ = k(l− l cos φ)l sin φ− mg l 2 cos φ All’equilibrio dV dφ = 0, quindi: k(1− cos φ)l sin φ = 1 2 mg cos φ k = mg cos φ 2 sinφ(1− cos φ) Per φ = π 3 si ottiene k =…