Modelli di variabili aleatorie

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Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'' ' 1' Modelli'di'Variabili'Aleatorie'! Variabili'aleatorie'di'Bernoulli:'" X'è'di'Bernoulli'di'parametro'p∈0,1()'se'PX=1()=p'e'PX=0()=1−p.'" Proprietà:'# EX():=1·pX1()+0·pX0()=p.'# VarX()=EX2()−EX()2'ma'siccome'X=X2'$'VarX()=EX()−EX()2=p−p2=p1−p().'" Notazione:'X'è'di'Bernoulli'di'parametro'p'⇔' XBep().'" Prove'di'Bernoulli:''# esperimenti'casuali,'indipendenti,'binari'(ossia'che'hanno'solo'due'possibili'esiti'che'chiamo'successo'e'fallimento).'p=Psuccesso().'# Faccio'n'prove'di'Bernoulli'con'probabilità'di'successo'p∈0,1().'# Sia'X'numero'di'successi'in'queste'n'prove.'pXk()=PX=k().'# X=X1+X2+...+Xn'$'Xk=1 se k-esima prova è successo0 se è fallimento⎧⎨⎩.'# EX()=EX1+...+Xn()=EX1()+...+EXn()=np.'# VarX()=VarX1+...+Xn()=VarX1()p1−p()+...+VarXn()=np1−p().' # PX=k()=nk⎛⎝⎜⎞⎠⎟pk1−p()n−k.'• X'è'binomiale'di'parametri'n,p,' XBin,p()()'se' PX=k()=nk⎛⎝⎜⎞⎠⎟pk1−p()n−k, k∈0,1,...,n{}0 altrimenti⎧⎨⎪⎩⎪.' • Ricordiamo'che'il'coefficiente'binomiale'si'calcola'nk⎛⎝⎜⎞⎠⎟:=n!k!n−k()!.'# XBin,p(), YBim,p()'indipendenti:'• XBin,p()⇔X=X1+...+Xn,' XkBep()'indipendenti.'• YBim,p()⇔Y=Y1+...+Ym,' YkBep()'indipendenti.'• X+Y=X1+...+Xn+Y1+...+Ym='somma'di'n+m.'Bep()'indipendenti'⇒' X+YBin+mi,p().'" Utilizzo:'quando'X'può'assumere'solo'i'valori'0,1'(successo'o'fallimento).''! Densità'di'Poisson:'" Ci'sono'in'media'λ'impurità'per'unità'di'lunghezza'=Ik=1n.'" X='numero'di'impurità'sul'segmento.'EX()=λ,'Xk='numero'di'impurità'in' IkBep().' Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'' ' 2' " X=X1+...+Xn,'EX()=EX1()+...+EXn()=np.' XBin,λn⎛⎝⎜⎞⎠⎟.' " PX=k()=nk⎛⎝⎜⎞⎠⎟λn⎛⎝⎜⎞⎠⎟k1−λn⎛⎝⎜⎞⎠⎟n−k=n!k!n−k()!λknk1−λn⎛⎝⎜⎞⎠⎟ncon n→+∞=e−λ1−λn⎛⎝⎜⎞⎠⎟−k1=' =nn−1()...n−k+1()nk→11−λn⎛⎝⎜⎞⎠⎟−k→1λkk!1−λn⎛⎝⎜⎞⎠⎟n→λkk!e−λ.'"…