Partial derivatives directional derivatives differentiability

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Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilit` a 1. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0 , 1) di f (x, y) = 3 √ x2(y − 1) + 1. b) Vale la formula del gradiente? f ` e differenziabile in (0 , 1)? c) Calcolare Dvf (0, 1), dove v ` e il versore individuato dalla retta y = √ 3x orientato nel verso delle x crescenti. d) Calcolare Dvf (0, 1), dove v ` e il versore individuato dalla retta y = 2x orientato nel verso delle x crescenti. 2. Calcolare le derivate parziali in (0 , 0) di f (x, y) = 5 √ y3 sin2 x. 3. Calcolare, se esistono, le derivate parziali in (0 , 3) di f (x, y) = √ |x|(x2 + y2 − 4). 4. Sia f (x, y) =    2x2y x4 + y2 se ( x, y) ̸= (0, 0) 0 se ( x, y) = (0 , 0) Mostrare che f non ` e continua in (0, 0), ma che ammette derivate direzionali in (0 , 0) lungo qualunque direzione. 5. Sia f (x, y) = √ x2 + y2. a) Disegnare il grafico di f . b) Calcolare, dove esistono, le derivate parziali di f . 6. Sia f (x, y) = x2 + y2. a) Disegnare il grafico di f . b) Mostrare che f ` e dif- ferenziabile nel punto (1 , 1), utilizzando la definizione. c) Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1 , 1, f(1, 1)). 7. Sia f (x, y) = xex2√y. a) Determinare il dominio D di f . b) Calcolare, dove esistono, le derivate parziali di f . 8. Sia f (x, y) = x 3√y. a) Determinare il dominio D di f . b) Calcolare, dove esistono, le derivate parziali di f . c) Mostrare che f ` e differenziabile in (0, 0). d) Stabilire dove f ` e differenziabile. 9. Sia f (x, y) =    xy2 x2 + y2 se ( x, y) ̸= (0, 0) 0 se ( x, y) = (0 , 0) 1 a) Calcolare le derivate parziali di f . b) Calcolare le derivate direzionali di f in (0 , 0). c) Vale la formula del gradiente in (0 , 0) ? d) Mostrare che f non ` e differenziabile in (0 , 0). 10. Dire se…