Pre Appello 2021

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Segnali per le comunicazioni – PRE-Appello del 8/6/2021 Esercizio 1 da svolgere in 35 minuti Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) =ୱ୧୬(ଶగ௙೚௧) గ௧ ୱ୧୬(ସగ௙೚௧) గ௧ A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) e se ne tracci il grafico. B) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 5𝑓௢ ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si tracci il grafico della trasformata di Fourier di 𝑥௡. C) Si disegni il grafico della trasformata 𝑋ோ(𝑓) del segnale tempo-continuo ricostruito e si calcoli l'espressione del segnale ricostruito 𝑥ோ(𝑡). Soluzione Esercizio 1 del 8/6/2021 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) =ୱ୧୬(ଶగ௙೚௧) గ௧ ୱ୧୬(ସగ௙೚௧) గ௧ A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓). 𝑋(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡൬ 𝑓 2𝑓௢ ൰∗𝑟𝑒𝑐𝑡൬ 𝑓 4𝑓௢ ൰ 𝑋(𝑓) è reale quindi basta un solo grafico 𝑋(𝑓) =ቐ 2𝑓௢ −𝑓௢ <𝑓<𝑓௢ 𝑓+ 3𝑓௢ −3𝑓௢ ≤𝑓≤ −𝑓௢ −𝑓+ 3𝑓௢ 𝑓௢ <𝑓< 3𝑓௢ B) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 5𝑓௢ ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si tracci il grafico della trasformata di Fourier di 𝑥௡. Il campionamento introduce alias. La trasformata 𝑋෨(𝑓) si calcola nella banda −ହ ଶ 𝑓௢ ≤𝑓≤ହ ଶ 𝑓௢ dove vale: Periodica di periodo 𝑓௦ = 5𝑓௢. C) Si disegni il grafico della trasformata 𝑋ோ(𝑓) del segnale tempo-continuo ricostruito 𝑥ோ(𝑡) e si calcoli l'espressione del segnale ricostruito 𝑥ோ(𝑡). 10𝑓௢ଶ5𝑓௢ଶ5𝑓௢ଶ𝑓௢2𝑓௢5/2𝑓௢−𝑓௢−2𝑓௢−5/2𝑓௢ 𝑓𝑋෨𝑓 La trasformata di Fourier del segnale ricostruito ha il seguente grafico: Questa può essere convenientemente vista come: 𝑋ோ(𝑓)=𝑓௢𝑟𝑒𝑐𝑡൬ 𝑓 5𝑓௢ ൰+𝑟𝑒𝑐𝑡൬ 𝑓 2𝑓௢ ൰∗𝑟𝑒𝑐𝑡൬ 𝑓 2𝑓௢ ൰−𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 𝑓௢ ൰∗𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 𝑓௢ ൰ Da qui è facile ricavare l’espressione del segnale ricostruito: 𝑥ோ(𝑡) =𝑓௢ sin𝜋5𝑓௢𝑡 𝜋𝑡 +൬sin𝜋2𝑓௢𝑡 𝜋𝑡 ൰ ଶ −൬sin𝜋𝑓௢𝑡 𝜋𝑡 ൰ ଶ Ci sono tuttavia altre possibilità che portano ad un risultato corretto anche apparentemente diverso da quello riportato sopra. 2𝑓௢𝑓௢ 𝑓௢𝑓௢2𝑓௢5/2𝑓௢−𝑓௢−2𝑓௢−5/2𝑓௢ 𝑓𝑋ோ𝑓 Segnali per le…