Pre Appello 2024

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Segnali per le comunicazioni – PRE-Appello del 4/6/2024 Gli esercizi devono essere svolti nel tempo massimo di 2h Esercizio 1 Sia dato il sistema LTI con risposta all’impulso ℎ(𝑡)=ୱ୧୬(ଶగ஻ ) గ௧ cosቀ𝜋𝐵𝑡+ଷ ସ 𝜋ቁ A ) Si calcoli l’espressione analitica della risposta in frequenza 𝐻(𝑓) B ) Si traccino i grafici di modulo e fase di 𝐻(𝑓) C ) Si trovi l'espressione della seguente convoluzione: 𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡)∗ୱ୧୬(ଶగ஻௧) గ௧ . Esercizio 2 Si campioni il segnale tempo continuo 𝑥(𝑡)=ቀୱ୧୬(గ௧) గ௧ ቁ ଶ con frequenza di campionamento 𝑓௦ =ଷ ଶ. A ) Si tracci il grafico della trasformata di Fourier in frequenza normalizzata del segnale 𝑥௡. B ) Si trovi l'espressione del segnale 𝑥ோ(𝑡) tempo continuo ricostruito dai campioni di 𝑥௡. C ) Si trovi l'espressione della DFT dei primi 10 campioni di 𝑦௡ =𝑥ோ(2𝑛) Esercizio 3 Sia dato il processo casuale discreto, stazionario 𝑥௡. I campioni del processo possono assumere solo i valori interi 1 e -1 con la medesima probabilità. I campioni tra loro adiacenti hanno correlazione ½. A distanze maggiori sono indipendenti. A) Si scriva l’espressione della funzione di autocorrelazione del processo dato e se ne calcoli la potenza. B ) Il processo 𝑥௡ viene filtrato con la risposta all’impulso ℎ௡ =𝐴𝛿௡ +𝐴𝛿௡ିଵ producendo in uscita il processo 𝑦௡. Sapendo che la potenza di 𝑦௡ è 3 , si trovi il valore 𝐴 della risposta all’impulso ℎ௡. C ) Si trovi l’espressione della densità spettrale di potenza di 𝑦௡. D ) Si trovi l’espressione della densità di probabilità delle ampiezze di 𝑦௡ nell’ipotesi in cui 𝑥௡ sia bianco. Soluzione Esercizio 1 del 4/6/2024 A) La trasformata di Fourier di ℎ(𝑡)=ୱ୧୬(ଶగ஻ ) గ௧ cosቀ𝜋𝐵𝑡+ଷ ସ 𝜋ቁ ha la seguente espressione: 𝐻(𝑓)=ଵ ଶ 𝑒ି௝య రగ𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ ௙ ଶ஻ +ଵ ଶቁ+ଵ ଶ 𝑒௝య రగ𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ ௙ ଶ஻ −ଵ ଶቁ B) I grafici di modulo e fase della risposta in frequenza sono i seguenti C)…