Preappello 6 6 2022

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Segnali per le comunicazioni – PRE-Appello del 6/6/2022 Gli esercizi devono essere svolti nel tempo massimo di 2h Esercizio 1 Sia dato il sistema LTI con risposta all’impulso ℎ(𝑡)=ቂୱ୧୬[గ(௧ିଵ)] గ(௧ିଵ) ቃ ଶ cos(𝜋𝑡) A ) Si trovi l'espressione analitica della risposta in frequenza 𝐻(𝑓) B ) Si trovi l'espressione dell’uscita 𝑦(𝑡) all’ingresso 𝑥(𝑡)= cos(2𝜋𝑡) C ) Si tracci il grafico del modulo e quello della fase di 𝐻(𝑓). Esercizio 2 Si campioni il segnale tempo continuo 𝑥(𝑡)= 2ୱ୧୬(ଶగ௧) గ௧ cos(2𝜋𝑡+𝜃) con intervallo di campionamento 𝑇=ଵ ଶ A ) Si trovi l'espressione del segnale 𝑥ோ(𝑡) tempo continuo ricostruito dai campioni di 𝑥௡. B ) Si trovi l'espressione 𝑋௞ della DFT dei primi 10 campioni di 𝑥௡ C ) Si annulli il terzo campione della DFT appena calcolata ottenendo la nuova sequenza 𝑌௞: qual è l’espressione del segnale 𝑦௡ ottenuto dalla IDFT di 𝑌௞? Esercizio 3 Sia dato il processo casuale 𝑥௡ stazionario tempo discreto con densità spettrale di potenza 𝑆௫(𝜑) = 𝐵𝑟𝑒𝑐𝑡ቀସ ଷ 𝜑ቁ+𝐴𝛿(𝜑). La densità di probabilità delle ampiezze del processo 𝑥௡ è uniforme nell’intervallo −8 ÷ 4. A ) Si trovino i valori di A e B B ) Si trovi l’espressione dell’autocorrelazione del processo casuale 𝑦௡ =𝑥௡ ∗ୱ୧୬ గ೙ భబ గ௡ C ) Si trovi la potenza del processo casuale 𝑧௡ =𝑦௡ା଼ +𝑦௡ିଶ +𝑦௡ିଵଶ Soluzione Esercizio 1 del 6/6/2022 A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝐻(𝑓). 𝐻(𝑓)=1 2𝑡𝑟𝑖൬𝑓−1 2൰𝑒ି௝ଶగቀ௙ି ଵ ଶቁ +1 2𝑡𝑟𝑖൬𝑓+1 2൰𝑒ି௝ଶగቀ௙ା ଵ ଶቁ Dove: 𝑡𝑟𝑖(𝑓) =𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓)∗𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓) B) 𝑌(𝑓) =𝑋(𝑓)𝐻(𝑓)=ଵ ଼ 𝑒௝గ𝛿(𝑓+ 1)+ଵ ଼ 𝑒ି௝గ𝛿(𝑓− 1) Da cui 𝑦(𝑡)=ଵ ସ cos(2𝜋𝑡− π) = −ଵ ସ cos(2𝜋𝑡) C) Per tracciare il grafico del modulo e quello della fase di 𝐻(𝑓) si noti che: 𝐻(𝑓)= ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 1 2𝑡𝑟𝑖൬𝑓+1 2൰𝑒ି௝ଶగቀ௙ା ଵ ଶቁ −3 2<𝑓< −1 21 2𝑡𝑟𝑖൬𝑓−1 2൰𝑒ି௝ଶగቀ௙ି ଵ ଶቁ 1 2<𝑓<3 2 −1 2൬𝑓+1 2൰𝑒ି௝ଶగ௙ −1 2൬−𝑓+1 2൰𝑒ି௝ଶగ௙ −1 2<𝑓<1 2 L’ultimo termine si ottiene…