Primo Appello 14 6 23

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Segnali per le comunicazioni –Appello del 14/6/2023 Gli esercizi devono essere svolti nel tempo massimo di 2h Esercizio 1 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) =ୱ୧୬൫ଶగ஻ (௧ିఛ)൯ గ(௧ିఛ) cos(𝜋𝐵𝑡) A ) Si traccino i grafici di modulo e fase di 𝑋(𝑓) quando 𝜏 = ଵ ସ஻ B ) Si trovi l'espressione della seguente convoluzione: 𝑦(𝑡)=𝑥(𝑡)∗ୱ୧୬(గ஻௧) గ௧ con 𝜏 qualsiasi. Esercizio 2 Si campioni il segnale tempo continuo 𝑥(𝑡)=ቂୱ୧୬(గ௧) గ௧ ቃ ଶ cos൬18𝜋ቀ𝑡− ଵ ଷ଺ቁ൰ con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 4. A ) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier in frequenza normalizzata del segnale 𝑥௡. B ) Si trovi l'espressione del segnale 𝑥ோ(𝑡) tempo continuo ricostruito dai campioni di 𝑥௡. C ) Si trovi l'espressione analitica del segnale 𝑦(𝑡)=𝑥ோ(𝑡)∗𝑧(𝑡) dove 𝑧(𝑡) è un segnale con banda limitata tra -1 e 1. Esercizio 3 Sia dato il processo casuale 𝑥(𝑡) stazionario con densità di probabilità delle ampiezze gaussiana e autocorrelazione 𝑅௫(𝜏)= 2 −ቚఛ ସቚ per |𝜏| ≤ 4 e costante unitaria per |𝜏| > 4. A) Si trovi l’espressione della densità spettrale di potenza del processo dato. B ) Si trovi l’espressione della densità spettrale di potenza del processo casuale 𝑦(𝑡)=𝑥(𝑡)− 𝑥(𝑡− 3) C ) Il processo 𝑦(𝑡) viene campionato a passo 𝑇= 3, ottenendo il processo discreto 𝑦௡. Quanto vale la potenza della media aritmetica di 3 campioni consecutivi di 𝑦௡? Soluzione Esercizio 1 del 14/6/2023 A) 𝑋(𝑓)=ଵ ଶ 𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ ௙ ଶ஻ −ଵ ଶቁ𝑒ି௜ଶగቀ௙ି ಳ మቁఛ +ଵ ଶ 𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ஻ +ଵ ଶቁ𝑒ି௜ଶగቀ௙ା ಳ మቁఛ Nelle bande −ଷ ଶ 𝐵<𝑓< −ଵ ଶ 𝐵 e ଵ ଶ 𝐵<𝑓<ଷ ଶ 𝐵, non ci sono sovrapposizioni in frequenza e le trasformate sono rispettivamente: 𝑋(𝑓) =ଵ ଶ 𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ஻ +ଵ ଶቁ𝑒ି௜ଶగቀ௙ା ಳ మቁఛ e 𝑋(𝑓) =ଵ ଶ 𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ ௙ ଶ஻ −ଵ ଶቁ𝑒ି௜ଶగቀ௙ି ಳ మቁఛ Nella banda −ଵ ଶ 𝐵≤𝑓≤ଵ ଶ 𝐵, la trasformata vale: 𝑋(𝑓)=1 2𝑒ି௜ଶగቀ௙ି ஻ ଶቁఛ +1 2𝑒ି௜ଶగቀ௙ା ஻ ଶቁఛ =𝑒ି௜ଶగ cos൬2𝜋𝐵 2𝜏൰ Se 𝜏 = ଵ ସ஻ 𝑋(𝑓)=𝑒ି௜ଶగ௙ ଵ ସ஻ cos൬2𝜋𝐵 2 1 4𝐵൰ =√2 2…