Primo Appello 17 6 22

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Segnali per le comunicazioni –Appello del 17/6/2022 Gli esercizi devono essere svolti nel tempo massimo di 2h Esercizio 1 Sia dato il sistema LTI con risposta all’impulso ℎ(𝑡)=ቂୱ୧୬[ଶగ(௧ିଵ)] గ(௧ିଵ) ቃ ଶ cos൫3𝜋(𝑡− 3)൯ A ) Si trovi l'espressione analitica della risposta in frequenza 𝐻(𝑓) B ) Si tracci il grafico del modulo e quello della fase di 𝐻(𝑓). C ) Si trovi l'espressione dell’uscita 𝑦(𝑡) all’ingresso 𝑥(𝑡)=ቂୱ୧୬[గ(௧ିଵ)] గ(௧ିଵ) ቃ Esercizio 2 Si campioni il segnale tempo continuo 𝑥(𝑡)=ቂୱ୧୬(గ௧) గ௧ ቃ ଶ sin(𝜋𝑡) con intervallo di campionamento 𝑇= ଵ ଶ A ) Si trovi l'espressione e si traccino i grafici (parte reale e immaginaria) della trasformata di Fourier 𝑋෨(𝑓) del segnale discreto 𝑥௡. B ) Si trovi l'espressione del segnale 𝑥ோ(𝑡) tempo continuo ricostruito dai campioni di 𝑥௡. C ) Si trovi l'espressione 𝑌௞ della DFT dei primi 50 campioni di 𝑦௡ =𝑥ଶ௡ + 1 Esercizio 3 Sia dato il processo casuale 𝑥(𝑡) stazionario tempo continuo con densità spettrale di potenza 𝑆௫(𝑓)= 𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ଵଶቁ e densità di probabilità delle ampiezze uniforme. A) Si trovi l’espressione densità di probabilità delle ampiezze del processo. B ) Si formi il processo casuale discreto 𝑥௡ ottenuto campionando 𝑥(𝑡) con 𝑇= ଵ ଻ଶ. Quanto vale la potenza di 𝑦௡ =𝑥௡ାଵ −𝑥௡ିଵ ? C ) La varianza del processo 𝑥௡ cos(𝜋𝑛) è maggiore, minore o uguale a quella del processo 𝑥௡ ? Soluzione Esercizio 1 del 17/6/2022 A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝐻(𝑓). 𝐻(𝑓)=𝑒ି௜ଷగ𝑡𝑟𝑖ቌ𝑓−3 2 2 ቍ 𝑒ି௝ଶగቀ௙ି ଷ ଶቁ +𝑒௜ଷగ𝑡𝑟𝑖ቌ𝑓+3 2 2 ቍ 𝑒ି௝ଶగቀ௙ା ଷ ଶቁ = = −𝑡𝑟𝑖ቌ𝑓−3 2 2 ቍ 𝑒ି௝ଶగቀ௙ି ଷ ଶቁ −𝑡𝑟𝑖ቌ𝑓+3 2 2 ቍ 𝑒ି௝ଶగቀ௙ା ଷ ଶቁ =𝑡𝑟𝑖ቌ𝑓−3 2 2 ቍ 𝑒ି௝ଶగ௙ +𝑡𝑟𝑖ቌ𝑓+3 2 2 ቍ 𝑒ି௝ଶగ௙ Dove: 𝑡𝑟𝑖(𝑓) =𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓)∗𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓) B) Per tracciare il grafico del modulo e quello della fase di 𝐻(𝑓) si noti che: 𝐻(𝑓)= ⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎧ 𝑡𝑟𝑖ቌ𝑓−3 2 2 ቍ 𝑒ି௝ଶగ௙ 1 2<𝑓<7 2 𝑡𝑟𝑖ቌ𝑓+3 2 2 ቍ 𝑒ି௝ଶగ௙ −7 2<𝑓<…