Principali dimostrazioni 2013

Page 1

Analisi e Geometria 2 Dimostrazioni nel programma 2012-2013 Maurizio Citterio, Achille Frigeri, Christian Migliavacca 26 giugno 2013 In queste pagine sono raccolte le dimostrazioni richieste per l’esame orale, ed alcune facoltative, proposte come sono state illustrate in aula nel corso 2012/2013. Lo studente pu` o presentare qualsiasi altro procedimento dimostrativo, purch´ e corretto e coerente. Algebra Lineare Spazi Vettoriali Base e coordinate T eorema 1.SeB=(v1,...,vn)` e una base di uno spazio vettorialeV, allora ogni vettorev2Vsi scrive in un unico modo come combinazione lineare div1,...,vn. Dimostrazione.Poich´ e i vettoriv1,...,vngeneranoV, ogni vettorevsi scrive come combinazione lineare div1,...,vn. Scriviamovin due modi v=x1v1+···+xnvn,v=y1v1+···+ynvn e dimostriamo che le due scritture coincidono. Sottraendo membro a membro, si ottiene: (x1 y1)v1+···+(xn yn)vn=0 Poich´ e i vettoriv1,...,vnsono per ipotesi linearmente indipendenti , si conclude che i coe cienti della combinazione lineare sono tutti nulli , cio` ex1=y1,. . .,x n=yn. T eorema di esistenza della base T eorema 2.Ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette una base. Dimostrazione.Per ipotesi,V` e finitamente generato, cio` e esiste un insieme finito di vettori diV, diciamov1,...,vk, tali che V=L(v1,...,vk). Sev1,...,vksono linearmente indipendenti, allora (v1,...,vk) ` e una base. Sev1,...,vksono linearmente dipendenti, allora uno di questi vettori, diciamovk, pu` o essere scritto come combinazione lineare dei restantik 1 vettori, e abbiamo V=L(v1,...,vk 1,vk)=L(v1,...,vk 1) Allora possiamo eliminare questo vettore vk. Ripetiamo il procedimento, fino ad arrivare a un insieme di vettori linearmente indipendenti. Questi vettori indipendenti generano ancora Ve dunque costituiscono una base diV. T…