Prova parziale 14 nov 2017 Tema A

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Analisi Matematica I (per Ing. Matematica) Prof. Verri Prima prova parziale del 14/11/2017 Cognome Nome Matr. N. Questo testo va consegnato insieme ai fogli con le soluzioni. Su tutti i fogli che consegner a, lo studente indichi il proprio cognome e n ◦ di matricola. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati nali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni in modo ordinato e con calligra a leggibile: nella valutazione complessiva dell'elaborato si terr a conto anche dell'ordine. (tempo: 150 min ) 1. Provare per induzione che la disuguaglianza n! > (n e )n  e vera per ogni intero n  1. 2. Posto A = { a 2 Q : a2 < 5 } B = fb 2 Q : j6 3bj  j bjg C = fa b : a 2 A; b 2 Bg D = fab : a 2 A; b 2 Bg calcolare (in R): sup C, inf C, sup D e inf D. 3. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss le radici complesse z dell'equazione ( z2 1 i )2 = 8i 4. Provare che la funzione f (x) = 1 4x4 + x8  e invertibile per x < 0. Quindi calcolarne l'inversa f −1, precisandone il dominio, e disegnare i gra ci di f e di f −1 sullo stesso piano cartesiano. 1 5. Calcolare e poi veri care con la de nizione metrica il seguente limite lim x→1 x + px 2 x 1 6. Determinare la classe limite della successione an = n sin (n 4 ) 2 + n cos ( n 4 ) 7. Mettere in ordine di rapidit a crescente i seguenti in nitesimi per x ! 0+, giusti cando la risposta. e √x + e−√x 2 ; 1 + ( 3px 1 )3 ; 3p x ln x ; 1 + 3p x3 1 ; ( x ln x )3 8. Siano f; g : [0; 1] ! [0; 1], continue, con g (0) = 0, g (1) = 1. Provare che si ha f (c) = g (c) per qualche c 2 [0; 1]. 9. Determinare il dominio massimale, eventuali punti di discontinuit a ed eventuali asintoti della funzione h (x) = x arctan jxj (x 1) ln j2 xj 10. Usando il metodo gra co, stabilire il carattere della…