Prova parziale 14 nov 2017 Tema B

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Analisi Matematica I(per Ing. Matematica) Prof. Verri Prima prova parziale del 14/11/2017 Cognome Nome Matr. N. Questo testo va consegnato insieme ai fogli con le soluzioni. Su tutti i fogli che consegner` a, lo studente indichi il proprio cognome e n◦di matricola. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati finali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni in modo ordinato e con calligrafia leggibile: nella valutazione complessiva dell’elaborato si terr` a conto anche dell’ordine. (tempo: 150 min) 1.Provare per induzione che la disuguaglianza n!≤2 (n 2 )n+1 2 `e v e r a p e r o g n i i n t e r on≥2. 2.Posto A= { a∈Q:a2<5 } B={b∈Q:|6−3b|≤|b|} C={a+b:a∈A, b∈B} D= {a b:a∈A, b∈B } calcolare (inR): supC,i n fC,s u pDei n fD. 3.Determinare e rappresentare nel piano di Gauss le radici complesse zdell’equazione ( z2+1+i )2 =8i 4.Provare che la funzione f(x)= 1 9x2+x4 `e i n v e r t i b i l e p e rx<0. Quindi calcolarne l’inversa f−1,p r e c i s a n d o n ei ld o m i n i o ,e disegnare i grafici difed if−1sullo stesso piano cartesiano. 1 5.Calcolare e poi verificare con la definizione metrica il seguente limite limx→4 x−√x−2 x−4 6.Determinare la classe limite della successione an= ncos (nπ 4 ) 3+nsin (nπ 4 ) 7.Mettere in ordine di rapidit` a crescente i seguenti infinitesimi per x→0+,g i u s t i fi c a n d o la risposta. (√x−1 )3 +1 ; √ x|lnx|;e 3√x+e−3√x−2; (x lnx )2 ; √ 1−x2−1 8.Sianof, g:[ 0,1]→[0,1], continue, conf(0) = 1,f(1) = 0. Provare che si haf(c)=g(c) per qualchec∈[0,1]. 9.Determinare il dominio massimale, eventuali punti di discontinuit` a ed eventuali asintoti della funzione h(x)=xarctan|x|(x+1 ) ln|x+2| 10.Usando il metodo grafico, stabilire il carattere della successione ricorsiva ( n=0,1,2,. . .) an+1=2a2 n 1+a2 n al…