prova scritta 10 luglio 2019

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 10 luglio 2019 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 6 punti, la domanda di teoria vale 8 punti. Domanda di teoria. Definire le distribuzioni e le distribuzioni temperate. Definire poi le convergenze in questi spazi. Infine, definire la distribuzione v.p. ( 1 x ) . Esercizio 1. (2+1+3(1+2)) Si consideri la funzionef (x) =| sinx| per x∈ [0, 2π]. (i) Determinare la serie di Fourier associata af. (ii) Stabilire in che modo la serie di Fourier trovata converge af. (iii) Calcolare la somma delle due serie ∞∑ k=1 1 (2k− 1)(2k + 1) , ∞∑ k=1 1 (2k− 1)2(2k + 1)2. Soluzione: (i) Si può considerare la funzionef ristretta all’intervallo [0,π ], estesa per parità, indi per 2π-periodicità. Pertanto,bn = 0 e an = 2 π ∫ π 0 sinx cosnxdx = 1 π ∫ π 0 [ sin(n + 1)x− sin(n− 1)x ] dx = { 4 π(1−n2) se n è pari 0 se n è dispari. Risulta dunque f (x)∼ 2 π + 4 π ∞∑ k=1 cos 2kx 1− 4k2. (ii) Dato che∑ n|an|<∞, la convergenza è totale, il che implica le altre forme di convergenza (puntuale, media quadratica, uniforme). (iii) La prima è una serie telescopica. Si può anche osservare che, per la convergenza puntuale in x = 0, si ha 0 = f (0) = 2 π + 4 π ∞∑ k=1 1 1− 4k2 =⇒ ∞∑ k=1 1 (2k− 1)(2k + 1) = 1 2. Per l’identità di Parseval, si ha 1 = 2 π ∫ π 0 sin2xdx = 2 π ∫ π 0 f…