prova scritta 13 luglio 2018

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 13 luglio 2018 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Definire la convergenza in media quadratica e la convergenza totale di una serie di Fourier. Per ciascuna di queste convergenze, enunciare poi una condizione sufficiente che la garantisca, fornendo degli esempi. Esercizio 1. Sia f(x) = (|x|− 2)χ[−2,2](x) (χ = funzione caratteristica). (i) Calcolare la derivata prima f′ e la derivata seconda f′′ nel senso delle distribuzioni. (ii) Calcolare la trasformata di Fourier di f′′ e dedurne la trasformata di Fourier di f. (iii) Usando la formula di inversione, calcolare l’integrale ∫ +∞ −∞ cos(2t)− 1 t2 cos(t)dt. Soluzione: (i) Si ha: f′(x) =    0 se x̸∈ (−2, 2) −1 se x∈ (−2, 0) 1 se x∈ (0, 2), f′′(x) = 2δ0−δ−2−δ2. (ii) Trasformando le δ si ottieneF(f′′(x),ξ ) = 2−ei2ξ−e−i2ξ = 2(1− cos(2ξ)), da cui F(f(x),ξ ) =−F(f′′(x),ξ ) ξ2 = 2 cos(2ξ)− 1 ξ2 . (iii) Per la formula di inversione, e tenendo conto della parit` a di ˆf, risulta f(x) = 1 2π ∫ +∞ −∞ eiξxˆf(ξ)dξ = 1 π ∫ +∞ −∞ cos(ξx)cos(2ξ)− 1 ξ2 dξ. Prendendo x = 1 si ottiene l’integrale richiesto: ∫ +∞ −∞ cos(2t)− 1 t2 cos(t)dt =πf (1) =−π. Esercizio 2. Usare la trasformata di Laplace per risolvere il sistema di equazioni differenziali…