prova scritta 21 giugno 2018

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 21 giugno 2018 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Definire (bene!) cosa si intende per funzione Laplace-trasformabile e dare la definizione di trasformata di Laplace. Fornire poi un esempio di funzione che non sia Laplace-trasformabile. Esercizio 1. Si consideri la successione di funzioni definita dafn(x) = (4−|x|)χ[−4+1/n,4−1/n] (χ = funzione caratteristica). (i) Determinare il limite puntuale f di fn e stabilire se fn→f in L1(R) e se fn→f uniformemente su R. (ii) Dette ˆfn e ˆf le trasformate di Fourier di fn e f, senza fare calcoli stabilire se esse sono continue e se ˆfn→ ˆf uniformemente su R. (iii) Senza fare calcoli, stabilire se ˆfn∈L2(R) e ˆf∈L2(R) e se ˆfn→ ˆf in L2(R). Soluzione: ( i) Si ha f(x) = (4−|x|)χ[−4,4]. Inoltre, sup x∈R |fn(x)−f(x)| = 1 n→ 0 per n→∞ e quindi fn→ f uniformemente su R. Siccome le funzioni coinvolte hanno supporto compatto (nel senso delle distribuzioni), la convergenza uniforme implica anche la convergenza L1. (ii) Dato chef,fn∈L1(R), per il Teorema di Riemann-Lebesgue si ha cheˆfn,ˆf∈C0 0(R). Inoltre, sempre per il Teorema di Riemann-Lebesgue (continuit` a diF :L1(R)→C0 0(R)) sappiamo che ∥ˆfn− ˆf∥∞ =∥ ˆfn−f∥∞≤∥fn−f∥1→ 0 per quanto visto al…