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Prova scritta di ANALISI MATEMATICA III 3 febbraio 2020 Cognome (stampatello) Nome Matricola Ingegneria Matematica — prof. Gazzola T est T eoria Es.1 Es.2 T otale c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. La prova scritta ` e formata da 3 parti: test, teoria e 2 esercizi: tutto deve essere svolto su questi fogli, nello spazio sotto il testo. La brutta copia non deve essere consegnata. TEST. Per ogni domanda ci sono 4 risposte possibili, una sola ` e corretta. Ogni risposta corretta vale 2 punti, ogni risposta sbagliata vale -1 punto, ogni risposta lasciata in bianco vale 0 punti. Se non si raggiunge almeno 10/16 in questa parte, l’esame risulta insufficiente e il resto della prova scritta non verr` a corretto. 1. Sia H(x) la funzione di Heaviside, la distribuzione temperata u tale che [xe−xH(x)]∗u =e−xH(x) ` e azu =δ0 +δ′ 0 b u =δ0−δ′ 0 c u =δ′ 0−δ0 d u =δ0 +iδ′ 0 2. Sia f(x) = +∞∑ n=1 1 (2n + 4)4/5 sin(2nπx); allora. . . a f ` e una funzione pari b ∫ 8 0 [f(x)]2 dx non converge c f ` e una funzione derivabile dzf ` e 1-periodica 3. La funzione f(z) = sin(z) Sh(z) z2 ha in z = 0. . . a una singolarit` a essenziale b un polo di ordine 2 cz una singolarit` a eliminabile d un polo di ordine 1 4. Un’armonica coniugata di u(x,y ) =ey3−3x2y cos(x3− 3xy2) ` e: a v(x,y ) =ey3−3x2y sin(x3 + 3xy2) b v(x,y ) =ey3−3x2y sin(3xy2−x3) c v(x,y ) =ey3−3x2y sin(−x3− 3xy2) dzv(x,y ) =ey3−3x2y sin(x3− 3xy2) 5. Data la successione di funzioni fn(x) =n2xe−n|x|, allora: a fn L2(R) −→ 0 bzfn D′(R) −→ 0 c fn L1(R) −→ 0 d fn L∞(R) −→ 0 6. Sia ˆf(ξ) la trasformata di Fourier di f(x) = x sinx 4…