prova scritta del 15 gennaio 2018

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 15 gennaio 2018 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Enunciare (bene!) e dimostrare il teorema sulla trasformata di Fourier di una convoluzione. Esercizio 1. Si considerino le funzioni di variabile complessa f(z) = sin ( 1 z + 1 ) , g (z) = cos ( 1 z + 1 ) , h (z) = sin ( z z + 1 ) . (i) Scrivere lo sviluppo in serie di Laurent di f e g nel punto z0 = −1, determinandone l’insieme di convergenza. (ii) Scrivere lo sviluppo in serie di Laurent dih nel puntoz0 =−1, determinandone l’insieme di convergenza (consiglio: si osservi che z z+1 = 1− 1 z+1...). (iii) Calcolare il residuo di f, g, h all’infinito. Soluzione: (i) Per ogni z̸=−1 si ha f(z) = sin ( 1 z + 1 ) = ∞∑ n=0 (−1)n (2n + 1)! 1 (z + 1)2n+1, g (z) = cos ( 1 z + 1 ) = ∞∑ n=0 (−1)n (2n)! 1 (z + 1)2n, con convergenza in|z + 1|> 0 (corona circolare centrata in z =−1 e raggio esterno infinito). (ii) Per ogni z̸=−1 si ha h(z) = sin ( 1− 1 z + 1 ) = sin(1) cos ( 1 z + 1 ) −cos(1) sin ( 1 z + 1 ) = sin(1)g(z)−cos(1)f(z) = ∞∑ n=0 an (z + 1)n con a2k = (−1)k (2k)! sin(1), a 2k+1 = (−1)k+1 (2k + 1)! cos(1) ; di nuovo, si ha convergenza in|z + 1|> 0. (iii) Dato che z =−1 ` e l’unica singolarit` a al finito per le tre funzioni…