prova scritta del 31 gennaio 2019

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 31 gennaio 2019 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 6 punti, la domanda di teoria vale 8 punti. Domanda di teoria: Serie di Fourier in L2(−π,π ): enunciare i criteri di convergenza visti a lezione, confrontando i diversi tipi di convergenza. Scrivere poi le serie di Fourier in forma esponenziale per una funzione f∈L2(−π,π ). Esercizio 1. (1+2+2+1) Data la successione di funzioni fn(x) =    α n enx x< 0 0 x = 0 β n e−nx x> 0 , oveα,β ∈ R, α,β non contemporaneamente nulli. a) Determinare il limite puntuale difn. b) Stabilire sefn converge inLp(R), conp∈ [1, +∞]. c) Determinare (al variare diα e β) il limite difn inD′(R); esistono valori non nulli diα e β tali che fn D′(R) −→ 0? d) Determinare (al variare diα e β) il limite difn inD′(0, +∞). Soluzione: a) La successionefn converge af (x)≡ 0. b) Si ha, rispettivamente perp∈ [1, +∞) e p = +∞, che ∥fn∥p Lp(R) =np(|α|p +|β|p) ∫ +∞ 0 e−npx dx =|α|p +|β|p p ·np−1 ∥fn∥L∞(R) = max{n|α|,n|β|} dunque in nessun caso∥fn∥→ 0. c) Poiché∀n si hafn∈L1 loc(R), integrando per parti si trova (∀φ∈D (R)) ⟨fn,φ⟩ =α ∫ 0 −∞ nenxφ(x) dx +β ∫ +∞ 0 ne−nxφ(x) dx = (α +β)φ(0) +α ∫ 0 −∞ enxφ′(x) dx +β ∫ +∞ 0 e−nxφ′(x) dx Osservato che esisteM tale che|φ′(x)| < M∀x∈ R, possiamo applicare il teorema della…