prova scritta del 5 febbraio 2016

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 5 febbraio 2016 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Spiegare cosa si intende per funzione Laplace-trasformabile; definire la trasformata di Laplace e l’ascissa di convergenza di una funzione. Esercizio 1. Per ogni α∈ R si consideri la successione di funzioni fα n (x) = { (n + 1)αxn se x∈ [0, 1] 0 altrove. (i) Per ogni α∈ R determinare il limite puntuale della successione {fα n}. (ii) Per ogni p∈ [1,∞] determinare per quali α si ha fα n→ 0 in Lp(R). (iii) Per α = 1, determinare il limite nel senso delle distribuzioni di {f 1 n}. Soluzione: (i) Se α <0 il limite puntuale ` e 0. Per ogni α≥ 0 fα n (x)→ 0 se x̸= 1. Se α = 0, f 0 n(1)≡ 1; se α> 0, fα n (1)→ +∞. (ii) α< 1/p per tutte le 1≤p≤∞ , compreso α< 0 se p =∞. (iii) Dopo un’integrazione per parti, per il Teorema di Lebesgue abbiamo che (n + 1) ∫ 1 0 xnφ(x)dx =− ∫ 1 0 xn+1φ′(x)dx + [ xn+1φ(x) ]1 0→φ(1) per ogni φ a supporto compatto in R. Pertanto, f 1 n→δx=1 nel senso delle distribuzioni. Esercizio 2. Si consideri la funzione periodica di periodo T = 3, definita da: f(x) =    0 se 0 <x< 1 1 se 1 <x< 2 2 se 2 <x< 3 . (i) Disegnare il grafico di f sull’intervallo [−6, 6]. (ii) Calcolare i coefficienti di Fourier di f. (iii)…