Quarto Appello 22 1 22

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Segnali per le comunicazioni –Appello del 22/1/2022 Esercizio 1 da svolgere in 35 minuti Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) la cui trasformata di Fourier è: 𝑋(𝑓)=(1 + cos(2𝜋𝑓))𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓). A) Si trovi l'espressione del segnale 𝑥(𝑡) B) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ =ଵ ଶ ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si calcoli l'espressione del segnale ricostruito 𝑥ோ(𝑡) a partire dai campioni 𝑥௡ (un disegno di 𝑋(𝑓) e di 𝑋ோ(𝑓) è di aiuto). Soluzione Esercizio 1 del 22/1/2022 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) la cui trasformata di Fourier è: 𝑋(𝑓)=[1 + cos(2𝜋𝑓)]𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓). A) Si trovi l'espressione del segnale 𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡) =sin(𝜋𝑡) 𝜋𝑡 ∗ቆ𝛿(𝑡)+1 2𝛿(𝑡+ 1)+1 2𝛿(𝑡− 1)ቇ Dunque: 𝑥(𝑡)=sin(𝜋𝑡) 𝜋𝑡 +1 2 sin൫𝜋(𝑡+ 1)൯ 𝜋(𝑡+ 1) +1 2 sin൫𝜋(𝑡− 1)൯ 𝜋(𝑡− 1) B) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ =ଵ ଶ ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si calcoli l'espressione del segnale ricostruito 𝑥ோ(𝑡) a partire dai campioni 𝑥௡. La trasformata 𝑋(𝑓) viene replicata a passo 𝑓௦ =ଵ ଶ e filtrata passa-basso nella banda −௙ೞ ଶ ÷ +௙ೞ ଶ (un disegno di 𝑋(𝑓) e di 𝑋ோ(𝑓) è di aiuto). All’interno della banda −ଵ ସ ≤𝑓<ଵ ସ la somma delle repliche è una costante uguale a 2. -0.500.500.511.52X(f)X(f-1/2)X(f+1/2) Analiticamente: 𝑋ோ(𝑓)=൞ [1 + cos(2𝜋𝑓)]+ቂ1 + cos൬2𝜋ቀ𝑓−ଵ ଶቁ൰ቃ 0 ≤𝑓<ଵ ସ [1 + cos(2𝜋𝑓)]+ቂ1 + cos൬2𝜋ቀ𝑓+ଵ ଶቁ൰ቃ −ଵ ସ <𝑓< 0 Tenendo presente che cosቆ2𝜋൬𝑓±1 2൰ቇ = cos(2𝜋𝑓±𝜋)= − cos(2𝜋𝑓) Si ottiene: 𝑋ோ(𝑓)= ቊ2 − ଵ ସ ≤𝑓<ଵ ସ 0 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒 Da cui 𝑥ோ(𝑡) = ୱ୧୬ቀഏ೟ మ ቁ ഏ೟ మ Segnali per le comunicazioni –Appello del 22/1/2022 Esercizio 2 da svolgere in 35 minuti Sia dato il processo casuale discreto 𝑥௡ con valor medio 4, potenza 32 e coefficiente di correlazione 𝜌௫[𝑚] = sinቀ𝜋𝑚 2 ቁ 𝜋𝑚 2 A) Si scriva l’espressione dell’autocorrelazione del processo. B) Si calcoli la potenza del processo 𝑦௡ =𝑥௡−𝑥௡ିଵ C) Si calcoli la potenza del processo 𝑧௡ =𝑥௡+𝑥௡ାଶ…