QUINTO Appello 17 2 2023

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Segnali per le comunicazioni –Appello del 17/2/2023 Gli esercizi devono essere svolti nel tempo massimo di 2h ESERCIZIO 1 Sia dato un sistema LTI ideale con risposta in frequenza 𝐻(𝑓)= cos ቀ2𝜋௙ ଺ቁ ∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ଽቁ. a - Si traccino i grafici di modulo e fase della risposta in frequenza data 𝐻(𝑓). b - Si calcoli l’espressione della risposta all’impulso ℎ(𝑡) del sistema dato. ESERCIZIO 2 Il segnale 𝑥(𝑡)= ୱ୧୬ቀ଺గ൫௧ିଵ ଺ൗ ൯ቁ ଶగ൫௧ିଵ ଺ൗ ൯ viene campionato con intervallo di campionamento T uguale a ଵ ଷ. a - Si trovi il valore dell’intervallo di campionamento 𝑇௠௔௫ che evita il fenomeno dell’alias in frequenza. b – Si calcoli la trasformata di Fourier della sequenza nx sia in frequenza che in frequenza normalizzata. ESERCIZIO 3 Sia dato il processo casuale discreto nx stazionario con campioni tra loro indipendenti che possono assumere qualsiasi valore compreso tra -2 e 4 con la medesima probabilità. a – Si trovi l’espressione dell’autocorrelazione 𝑅௫[𝑚] del processo dato. b –Il processo nx viene filtrato con la risposta all’impulso ℎ௡ =𝛿௡ + 3𝛿௡ିଵ +𝛿௡ିଶ . Quanto vale l’autocorrelazione 𝑅௬[𝑚] del processo filtrato 𝑦௡? c – Quanto vale la varianza della variabile casuale 𝑣=𝑦଴ − 2𝑦ଷ +𝑦଺? d – Quanto vale la varianza della variabile casuale 𝑧=𝑦଴ − 2𝑦ଵ? Soluzione Esercizio 1 del 17/2/2023 A) La risposta in frequenza 𝐻(𝑓) = cos ቀ2𝜋௙ ଺ቁ ∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ଽቁ è puramente reale ed è limitata dal rettangolo tra -4.5 e +4.5 Hz. Il modulo è quello del coseno che è positivo tra -1.5 e +1.5 Hz e negativo altrove. La fase vale dunque 0 tra-1.5 e +1.5 Hz e  altrove. Si veda il grafico della seguente figura. B) L’anti-trasformata di H(f) è data dalla seguente convoluzione: ℎ(𝑡) =sin(9𝜋𝑡) 𝜋𝑡 ∗1 2ቆ𝛿൬𝑡−1 6൰+𝛿൬𝑡+1 6൰ቇ dunque: ℎ(𝑡) =sinቀ9𝜋൫𝑡−1 6ൗ ൯ቁ 2𝜋൫𝑡−1 6ൗ ൯ +sinቀ9𝜋൫𝑡+1 6ൗ ൯ቁ 2𝜋൫𝑡+1 6ൗ ൯ -4 -3 -2 -10 1 2 3…