Raccolta domande di teoria

Document information

University: Politecnico di Milano
Degree programme: Aerospace Engineering
Subject: Meccanica Aerospaziale
Material language: Italian
Classification: Exam · Other
Content: Exam paper and solution
Original format: PDF
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Indice 1 Cinematica del corpo rigido nel piano 4 1.1 Ricavare l’espressione dell’atto di moto per un corpo rigido i cui punti appartengono ad un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Enunciare e dimostrare il Teorema di Chasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Cinematica corpo rigido nello spazio 9 2.1 Partendo dal moto relativo di 2 terne nello spazio,di cui una fissa e una solidale con cr . . . . . 9 2.2 Ricavare l’espressione dell’atto di moto del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Atto di moto e velocità angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Atto di moto nel piano e nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Gradi di libertà per generico sistema di N punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5.1 Medesima retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6 Proiezione velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.7 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7.1 Formule di Poisson (Dir.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7.2 Formule di Poisson (Inv.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8 Reazioni cinematiche tra 2 C.r. in movimento a contatto nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9 Sistema in figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Geometria delle masse 20 3.1 Definire il centro di massa G del corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .…

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2.7 Poisson 2.7.1 Formule di Poisson (Dir.) Formule dirette: ˙ J, ω, I, J, K → I, ˙ K̇ Dato C.r. sappiamo che : v p = v O′ + ω ∧ (P − O′ ) Che vale ∀ O′ , P Applico al caso particolare (P − O′ ) = I v p = v O′ + ω ∧ I v p − v O′ = ω ∧ I ′ −O ) ma v p − v O′ = d(Pdt I z }| { d(P − O′ ) Sostituisco → = ω ∧ I → I˙ = ω ∧ I dt ripetiamo per (P − O′ ) = J e (P − O′ ) = K I˙ = ω ∧ I       J˙ = ω ∧ J Formula di Poisson diretta     K̇ = ω ∧ K  17

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II E.q cardinale:Considero un sistema di punti Pi , mi con i=1,...,N. Su ogni i-esimo punto agiscono 2 tipi di forze: f ij = Forze dovute all’interazione con tutti gli altri J punti del sistema → ”Forze interne” Rest i = Forza risultante dovuta ai punti esterni al sistema → ”Forze esterne” Su ogni Pi vale la II legge di Newton: N X mi R̈i = f ij + Rest i −→ i = 1, ..., N j=1,j̸=i Prendiamo polo O e pre-moltiplichiamo vettorialmente per (Pi -O): N X (Pi − O) ∧ mi R̈i = (Pi − O) ∧ [ f ij + Rest i ] i = 1, ..., N j=1,j̸=i N X (Pi − O) ∧ mi R̈i = (Pi − O) ∧ f ij + (Pi − O) ∧ Rest i i = 1, ..., N j=1,j̸=i Sommo tutti gli i: N X N X N X N X (Pi − O) ∧ mi R̈i = (Pi − O) ∧ f ij + (Pi − O) ∧ Rest i −→ studio a, b, c i=1 i=1 j=1,j̸=i i=1 | {z } | {z } | {z } a b c N X N X N X N X (Pi − O) ∧ f ij = M int O → si vede che si può riscrivere (Pi − O) ∧ f ij i=1 j=1,j̸=i i=1 j=1,j̸=i [a ∧ (b + c + ...) = a ∧ b + a ∧ c...] Si nota che assume la forma: (P1 − O) ∧ f 12 + (P1 − O) ∧ f 13 + ... + (P2 − O) ∧ f 21 + (P2 − O) ∧ f 23 + ... (Pi − O) ∧ f ij + (Pj − O) ∧ f ji ma f ij = f ji (Pi − O) ∧ f ij − (Pj − O) ∧ f ij = {(Pi − O) − (Pj − O)} ∧ f ij = (Pi − Pj ) ∧ f ji = 0 ma (Pi − Pj )//f ij Quindi viene una sommatoria di 0 → M int O = 0 e vale per qualsiasi polo O N X c) (Pi − O) ∧ Rest i = M est O i=1 N X a) (Pi − O) ∧ mi R̈i i=1 32

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9 Meccanica analitica 9.1 Funzione di Hamilton H La Funzione di Hamilton si definisce come : n △ X H= pK q̇K − L K=1 9.2 Dimostrare sotto quali condizioni la funzione di Hamilton risulta un integrale primo del moto La funzione di Hamilton risulta un’integrale primo del moto quando dH dt = 0 Derivando : dH Pn δL Pn δL δ q̇K δL δqK dt = K=1 [ṗK q̇K + pK q̈K ] − [ dt + K=1 ( dq̇K dt + dq̇K dt )] Pn δL δL δL = K=1 [ṗK q̇K + pK q̈K − dq̇K q̈K − dqK q̇K ] − dt Pn δL δL = K=1 [pK q̈K − pK q̈K + (ṗK − dqK )q̇K ] − dt Pn d δL δL δL = K=1 [ dt ( δ q̇K ) − dqK ]q̇K − dt Pn = N.C. K=1 Qk · q̇K − δL dt Pn N.C.  Se K=1 Qk · q̇K = 0 ( tutte le f orze sono conservative)  dH Quindi : = 0 → H è integrale primo di moto  dt e Se δL dt = 0 ( no dipendenza esplicita dal tempo) Poichè assume le forme di un’energia, H si chiama anche ” integrale generalizzaro dell’energia” 9.3 Enunciare sotto quali condizioni la funzione di Hamilton coincide con l’energia meccanica del sistema  Pn N.C.   K=1 Qk · q̇K = 0    δL H = E se : dt = 0 e quindi H = E = cost     V incoli esterni f issi  10 Moto per inerzia 10.1 Costanti nel tempo ΓO e T Nel caso di moto per inerzia con punto fisso, si possono ricavare dalla II Eq. Cardinale, le formule di Eulero  Aṗ + (C − B)qr = 0     B q̇ + (A − C)pr = 0 perchè M Att O = 0 per moto inerziale e M O vatt = 0 per cerinera sf erica in O     C ṙ + (B − A)qp = 0  47

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Quindi : 1) a > 0 q0,1 = 0 → Stabile r −a 2) a = 0 q0,1 = 0 → Stabile • q0,2−3 = ± → stabili 1 + a2 3) a < 0 q0,1 = 0 → Instabile 64

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