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Politecnico di Milano Temi d’esame di 099319-Probabilit` a e statistica per l’informatica dell’AA 2019/20 per ING-INF (laurea) Docenti: Alberto Barchielli, Ilenia Epifani, Lucia Ladelli 21 febbraio 2021 1 2 Primo appello di Probabilità e statistica per l’Informatica A. Barchielli, I. Epifani e L. Ladelli 16.06.2020 © I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Giustificare adeguatamente tutte le risposte. 1 Domande di teoria D 1 Un unico apparato è formato dan componenti elettronici collegati in serie; siaS il tempo di vita (espresso in ore) di questo apparato. I componenti usati sono indipendenti tra loro, non soggetti ad usura (cioè c’è assenza di memoria) ed hanno tutti durata media pari aµore. 1. Determinare l’espressione di S in funzione dei tempi di vita dei singoli componenti del sistema. Definire la proprietà di assenza di memoria (cioè assenza di usura) per una variabile aleatoria assolutamente continuaT. 2. Dopo avere identificato la distribuzione della durata di ogni componente, determinare la funzione di ripartizione del tempo di vitaS del sistema e riconoscerla. Possiamo dire che l’intero sistema non è soggetto ad usura? Soluzione 1. Un apparato con componenti in serie smette di funzionare appena smette di funzionare uno dei componenti. Se chiamiamo T1,...,Tn i tempi di vita dei singoli componenti in serie, abbiamo S = mini=1,...,n{Ti}. La proprietà di assenza di memoria (o di non usura) per una v.a. assolutamente continuaT >0 dice che P (T >t +s|T >s) =P (T >t), ∀t≥0, ∀s≥0. L’unica distribuzione con queste proprietà è l’esponenziale; imponendo mediaµ, si ha:T∼E(1/µ), FT (t) = 1(0,+∞)(t) ( 1−e−t/µ) . 2. I vari componenti in serie sono indipendenti, esponenziali (per la mancanza di memoria) e iden-…
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