raccolta temi desame anni 2010 prof Maurizio Verri

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Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dei Sistemi Insegnamento di Analisi Matematica I prof. Maurizio Verri Temi d’esame Prima prova in itinere del 16/11/2010 (tempo: 3h) 1. Siano p, q ed r tre proposizioni, ed s l’enunciato “(p =⇒ q) =⇒ r”. Disegnare il circuito equi valente ad s e indicare per quali valori di verità di p, q ed r l’enunciato s è vero. 2. Provare per induzione che la proposizione n! <
n 2 n è vera per ogni intero n ≥ n e determinare tale intero naturale n. 3. Sia x un elemento di un campo ordinato. Provare che x2 ≤ x =⇒ 0 ≤ x ≤ 1 (Specificare tutte le proprietà dei campi ordinati utilizzat e nei passaggi. ) 4. Sia z = (1 − i)8 √ 3 + i 5 (a) Calcolare: Re (z), Im (z) , |z| e arg (z). (b) Determinare e rappresentare nel piano di Gauss i valori d i 5√z. 5. Data l’equazione nell’incognita complessa z z3 − Re (z) = λ (a) determinare il valore del parametro complesso λ per cui l’equazione ammette la radice 2 +i; (b) per tale valore di λ determinare tutte le radici dell’equazione. 6. Partendo da grafici fondamentali e usando il metodo delle t rasformazioni, disegnare i grafici di |||x| − 1| − 1| ; √ 3 sin x  ; ln (1 + x)2 7. Verificare che la funzione y = f (x) = 1 − 4√1 − 2x è invertibile nel suo dominio massimale. Quindi calcolare l’inversa di f e disegnarne il grafico. 8. Verificare con la definizione metrica e dare l’interpretaz ione geometrica del seguente limite lim x→1+ ln  x − 1 x2 + 1  = −∞ 9. Calcolare i limiti seguenti lim x→0 (cos x)cot x , lim x→+∞ arctan (αx) dove α è un parametro reale. 1 10. Sia {an} una successione a termini positivi ( ∀n a n > 0). Provare che se vale la condizione lim n→+∞ an+1 an = 1 2 allora la successione è infinitesima. 11. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di infini to e di infinitesimo, eventuali…