raccolta temi desame anni 2012 prof Maurizio Verri

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Politecnico di Milano - Facolt a di Ingegneria dei Sistemi Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Temi d'esame Prima prova in itinere del 14/11/2012 (tempo: 3h) 1. Siano x un elemento di un campo ordinato e y = x + 1. Provare che, se x > 0, allora y  e invertibile e si ha 0 < y −1 < 1. ( Speci care tutte le propriet a dei campi ordinati utilizzate nei passaggi.) 2. Calcolare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi z = 3 √ − √ 3 + i (1 − i)7 3. Determinare e quindi rappresentare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi A = {z ∈ C : |z − i| ≤ 1 − |z|} ; B = {  ∈ C :  = 6√z; z ∈ A } 4. Partendo da gra ci fondamentali e usando il metodo delle trasformazioni, disegnare i gra ci di x ⌊ x2⌋ ; cos arccos (2 x + 3) ; 2 − 1 |x| 5. Provare che la funzione f (x) = arcsin 1 1 + e−x  e invertibile nel suo dominio e calcolarne l'inversa, precisandone il dominio massimale. 6. Veri care che la funzione g (x) = 1 − x2 2 − cos x  e decrescente perx ≥ 0. 7. Calcolare e poi veri care con la de nizione metrica il seguente limite lim x→−3 x + 2 (x + 3)2 8. Calcolare lim x→0 x2 sinh x sin 7x − tan 7x ; lim x→+∞ ( ln x + ln sin 5 x ) 9. Determinare gli eventuali punti di discontinuit a della funzione h (x) = x + ln |x| 1 − ln |x| 10. Mettere in ordine di rapidit a crescente i seguenti in niti (per x → +∞) ln (x + ex) ; 4 √ x2 − 1000x ; √x arctan (ex) ; x√ ln x 1 11. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in nito e di in nitesimo, eventuali asintoti) e quindi disegnare il gra co probabile della funzione f (x) = 3√ x5 − 16x 3√ x2 + 3 12. Usando il metodo gra co, stabilire il carattere della successione ricorsiva ( n = 0; 1; 2; :::) an+1 = 1 7 ( a4 n − an ) al variare di a0 = x ≥ 0. 2 Seconda prova in itinere del 30/1/2013 (tempo:…