raccolta temi desame anni 2014 prof Maurizio Verri

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Temi d'esame Prima prova parziale del 25/11/2014 (tempo: 3h) 1. Posto A = {x ∈ R : |x + 1| ≥ 2} ; B = { x ∈ R : 1 x ∈ A } determinare: B (interno di B), @B (frontiera di B), B (chiusura di B), B′ (derivato di B). 2. Provare per induzione che la disuguaglianza 2n > 1 + n + n2 2  e vera per ogni intero naturale n ≥ n e determinare tale intero n. 3. Risolvere l'equazione nell'incognita complessa z |z| − 1 − i √ 3 = 2 e rappresentarne le soluzioni nel piano di Gauss. 4. Determinare e quindi rappresentare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi A = {z ∈ C : |z| ≥ 8; |arg (z)| ≤ =4} ; B = {  ∈ C :  = 3 √ i z ; z ∈ A } 5. Partendo da gra ci fondamentali e usando il metodo delle trasformazioni, disegnare i gra ci di 2 + ln √x ; x |x| − 2x ; 2 arcsin (1 − x) 6. Provare che la funzione y = g (x) = x |x| + 2  e invertibile in R. Calcolare poi l'inversa g−1 e disegnare con cura i gra ci di y = g (x) e di y = g−1 (x), determinando in particolare gli eventuali punti di intersezione fra i due gra ci e fra ciascun gra co e gli assi cartesiani. 7. Calcolare e poi veri care con la de nizione metrica il seguente limite lim x→2+ 1 − x√x − 2 8. Calcolare lim x→1=2 (2x − 1) tan (x) ; lim n→+∞ ( 1 +  n2 )n essendo  un parametro reale. 1 9. Calcolare, giusti cando il procedimento, il minimo limite lim x→0 arccos ( cos 1 x ) 10. Determinare il dominio massimale, eventuali punti di discontinuit a ed eventuali asintoti della funzione h (x) = ex |x − 2| + x3 1 + x2 − arctan (1 x ) 11. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in nito e di in nitesimo, eventuali asintoti) e quindi disegnare il gra co probabile della funzione f…