Reali Complessi

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’ Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Appunti di lezione (B) 1 Dai razionali ai reali 1.1 Q è un campo ordinato L’ insiemeQ dei razionali, con le usuali de nizioni di somma, prodotto e ordinamento di frazioni, veri ca le seguenti proprietà algebriche (x;y;z denotano arbitrari numeri razionali): 1. proprietà commutative: x +y =y +x; xy =yx 2. proprietà associative 1: (x +y) +z =x + (y +z); (xy)z =x (yz) 3. proprietà distributiva: x (y +z) =xy +xz 4. esistenza degli elementi neutri: x + 0 =x; x1 =x 5. esistenza degli elementi inversi 2: (elemento opposto) x + ( x) = 0; (elemento reciproco) yy 1 = 1 sey6= 0 6. proprietà transitiva dell’ ordinamento: x<y ^ y <z =)x<z 7. proprietà di tricotomia: 8x8y è vera una e una sola delle seguenti: x<y , x =y, x>y 0Aggiornamento: 19 settembre 2019 1Si può quindi scrivere x + y + z e xyz senza ambiguità di interpretazione nell’ ordine con cui si eseguono le somme e i prodotti, rispettivamente. 2Si pone x y := x + ( y) (de nizione di “sottrazione” ) e, per y6= 0 , x y := xy 1 (de nizione di “quoziente” o “rapporto” ). M. V erri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 2 8. compatibilità della somma rispetto all’ ordinamento: x<y =)x +z <y +z 9. compatibilità del prodotto rispetto all’ ordinamento: x<y ^ z >0 =)xz <yz Le proprietà 1-5 vengono sintetizzate dicendo che l’ insiemeQ è un campo e le proprietà 6-7 dicendo che Q è un insieme ordinato. In ne, le strutture di campo e di insieme ordinato sono compatibili in virtù delle proprietà 8-9 e si riassume ciò dicendo che Q è un campo ordinato. In generale, ogni insieme K di elementi veri canti gli assiomi 1-5 (oppure 1-9) è detto campo (oppure campo ordinato). È interessante notare che…