Relazioni e funzioni di algebra

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1 ALGEBRA (Parte I) Nel seguito diamo per note le notazioni, le definiz ioni di inclusione, uguaglianza e operazioni su insiemi e le relative proprietà. Relazioni Ricordiamo che si chiama prodotto cartesiano degli n insiemi A 1, A2, …, An , l’insieme A1×A2×…×An = {(a1, a2, …, an) | ai∈ Ai, i =1,2,… n} Notiamo che gli elementi del prodotto cartesiano so no n-uple ordinate ed è quindi rilevante l’ordine in cui si considerano gli insiemi. Per convenzione, se n = 1 il prodotto cartesiano si riduce ad A 1. Si chiama relazione R (n-aria o di arità n) fra gli n insiemi A 1, A2, …, An un qualsiasi sottoinsieme di A1×A2×…×An. Siano ora R ⊆ A 1×A2×…×An e T ⊆ A1×A2×…×An due relazioni fra gli n insiemi A1, A2, …, An. Dalle definizioni insiemistiche si ha: R ⊆ T sse per ogni ( a 1, a2, …, an)∈R si ha ( a1, a2, …, an) ∈T. R = T sse R ⊆ T e T ⊆ R. R ⊂T sse R ⊆T ed esiste almeno una n-upla ( a’ 1, a’ 2, …, a’ n)∈T tale che ( a’ 1, a’ 2, …, a’ n)∉R R ∩T={(a1, a2, …, an)| ( a1, a2, …, an)∈R e ( a1, a2, …, an)∈T} R∪T={(a1, a2, …, an)| (a1, a2, …, an)∈R o ( a1, a2, …, an)∈T}. Come è ben noto dalle nozioni sulla teoria degli i nsiemi, le definizioni di intersezione ed unione s i possono estendere ad una famiglia arbitraria di rel azioni fra gli n insiemi A 1, A2, …, An. Pertanto se consideriamo una famiglia di relazioni {Ri | i∈I} fra A1, A2, …, An, dove l’indice i varia in un qualsiasi insieme I, usiamo le seguenti notazioni ( ) ( ){ }in21n21 I i i R,...,a ,a aIi |,...,a ,a aR ∈∈∀= ∈ I ( ) ( ){ }in21n21 I i i R,...,a ,a aIi |,...,a ,a aR ∈∈∃= ∈ U Le operazioni fra relazioni godono ovviamente delle proprietà ben note per le operazioni insiemistiche. Relazioni binarie Consideremo nel seguito il caso n = 2, cioè le relazioni binarie o di arità 2. Se R è una relazione binaria la notazione a1…