Riassunto completo del corso

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University: Politecnico di Milano
Degree programme: Biomedical Engineering
Subject: Fondamenti di Statistica e Segnali Biomedici
Material language: Italian
Classification: Other study material
Original format: PDF
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GUIDA COMPLETA ALL'ESAME Fondamenti di Statistica Concetti, Formule ed Esercizi dalle 5 Esercitazioni Indice dei Contenuti 1. Probabilita' di Base e Calcolo Combinatorio 2. Variabili Aleatorie Discrete 3. Variabili Aleatorie Continue 4. Vettori Aleatori e Teorema Centrale del Limite 5. Inferenza Statistica: Stima e Test di Ipotesi 6. Tavole di Riferimento Rapido

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2. Variabili Aleatorie Discrete 2.1 Funzione di Massa (Densita') e di Ripartizione La funzione di massa di probabilita' (PMF) p_X(x) soddisfa: • p_X(x) >= 0 per ogni x • SOMMA p_X(xi) = 1 (su tutto il supporto) La funzione di ripartizione (CDF): F_X(x) = P(X <= x) = SOMMA[ p_X(xi) ] per xi <= x Proprieta' della CDF: non decrescente, continua a destra, F(-inf)=0, F(+inf)=1 2.2 Valore Atteso e Varianza E[X] = SOMMA[ x * p_X(x) ] (media / valore atteso) E[g(X)] = SOMMA[ g(x) * p_X(x) ] (legge dell'aspettativa inconscia) Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2 Proprieta' di E[.] e Var(.) • E[aX + b] = a*E[X] + b • Var(aX + b) = a^2 * Var(X) • Se X, Y indipendenti: E[XY] = E[X]*E[Y] • Se X, Y indipendenti: Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) 2.3 Distribuzioni Notevoli Discrete Bernoulli: X ~ Be(p) Parametro Supporto P(X=1) P(X=0) E[X] Var(X) p in (0,1) {0,1} p 1-p p p(1-p) Binomiale: X ~ Bi(n, p) n prove indipendenti di Bernoulli, conta i successi P(X = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) k = 0,1,...,n E[X] Var(X) Supporto n*p n*p*(1-p) {0,1,...,n} Poisson: X ~ P(lambda) Modella eventi rari, approssima Bi(n,p) per n grande e p piccolo con lambda=n*p P(X = k) = e^(-lambda) * lambda^k / k! k = 0,1,2,... E[X] Var(X) Riproducibilita' lambda lambda Se X~P(l1), Y~P(l2) indip. => X+Y~P(l1+l2)

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Standardizzazione: Z = (X - mu) / sigma ~ N(0,1) P(X <= x) = Phi((x - mu)/sigma) P(a <= X <= b) = Phi((b-mu)/sigma) - Phi((a-mu)/sigma) Proprieta' della Normale • Se X~N(mu,s^2), allora aX+b ~ N(a*mu+b, a^2*s^2) • Se X~N(m1,s1^2), Y~N(m2,s2^2) indip., allora X+Y ~ N(m1+m2, s1^2+s2^2) • Phi(-z) = 1 - Phi(z) (simmetria della normale standard) • Quantili: z_0.90=1.282, z_0.95=1.645, z_0.975=1.960, z_0.99=2.326, z_0.995=2.576 Weibull Spesso appare in forma implicita. La strategia e' trovare la CDF tramite quella di X, poi derivare. 3.5 Trasformazioni di Variabili Per trovare la densita' di Y = g(X), usare il metodo della CDF: 4. Calcolare F_Y(y) = P(Y <= y) = P(g(X) <= y) esprimendo in termini di X 5. Derivare f_Y(y) = F_Y'(y) Se g e' monotona e derivabile: f_Y(y) = f_X(g^(-1)(y)) * |d/dy g^(-1)(y)|

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5. Inferenza Statistica 5.1 Stimatori e Proprieta' Dato un campione X1,...,Xn i.i.d. da una popolazione con parametro theta, uno stimatore T=T(X1,...,Xn) e': Proprieta' Definizione Formula Non distorto E[T] = theta Distorsione = E[T] - theta = 0 Errore quadratico MSE(T) MSE = Var(T) + (Bias)^2 medio Consistente T converge a theta MSE(T) -> 0 per n->inf Efficienza relativa Confronto tra due stimatori eff(T1,T2) = MSE(T2)/MSE(T1) Stimatori Fondamentali Media campionaria: X_n = (1/n) * SOMMA Xi => E[X_n]=mu, Var(X_n)=sigma^2/n Varianza campionaria: S^2 = (1/(n-1)) * SOMMA (Xi - X_n)^2 => E[S^2]=sigma^2 (non distorto) Varianza con mu nota: S0^2 = (1/n) * SOMMA (Xi - mu)^2 => E[S0^2]=sigma^2 (non distorto) 5.2 Intervalli di Confidenza Un intervallo di confidenza IC_(1-alpha)(theta) contiene theta con probabilita' 1-alpha. Per la Media mu (sigma^2 NOTA) IC bilatero: X_n +/- z_(1-alpha/2) * sigma/sqrt(n) IC coda destra: mu >= X_n - z_(1-alpha) * sigma/sqrt(n) IC coda sinistra: mu <= X_n + z_(1-alpha) * sigma/sqrt(n) Per la Media mu (sigma^2 INCOGNITA, campione normale) IC bilatero: X_n +/- t_(1-alpha/2)(n-1) * S/sqrt(n) IC coda destra: mu >= X_n - t_(1-alpha)(n-1) * S/sqrt(n) IC coda sinistra: mu <= X_n + t_(1-alpha)(n-1) * S/sqrt(n) dove t_(1-alpha)(n-1) e' il quantile della distribuzione t di Student con n-1 gradi di liberta'. Per la Media mu (caso asintotico, sigma incognita) Per n grande, si sostituisce S a sigma e z a t: IC bilatero: X_n +/- z_(1-alpha/2) * S/sqrt(n) Per la Varianza sigma^2 (mu incognita, campione normale) IC bilatero: [ (n-1)*S^2 / chi2_(1-alpha/2)(n-1) , (n-1)*S^2 / chi2_(alpha/2)(n-1) ]

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14. Identificare il tipo di distribuzione (discreta/continua, notevole?) 15. Per trasformazioni: usare il metodo della CDF 16. E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 - utile per calcoli 17. Per TCL: n grande? Identificare mu e sigma^2 della singola v.a. Test di Ipotesi - Procedura Completa 18. Definire H0 e H1 chiaramente 19. Scegliere la statistica test appropriata (vedi tabella 6.2) 20. Calcolare il valore osservato u* 21. Determinare la regione critica (in base a H1: bilatero/coda) 22. Confrontare u* con il quantile e prendere la decisione 23. Calcolare il p-value se richiesto Buono studio e buona fortuna all'esame!

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