Secondo Appello 16 7 22

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Segnali per le comunicazioni –Appello del 16/7/2022 Gli esercizi devono essere svolti nel tempo massimo di 2h Esercizio 1 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) =ቂୱ୧୬[ଶగ(௧ିଵ)] గ(௧ିଵ) ቃ ଶ sin൫2𝜋(𝑡− 1)൯ A ) Si trovi l'espressione analitica della sua trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) B ) Si traccino i grafici del modulo e della fase di 𝑋(𝑓). Esercizio 2 Si campioni il segnale tempo continuo 𝑥(𝑡)=ୱ୧୬(ଷగ௧) గ௧ cos(16𝜋𝑡+𝜃) con intervallo di campionamento 𝑇. A ) Si trovi il più grande valore di T per cui il segnale ricostruito sia 𝑥ோ(𝑡) =ୱ୧୬(ଷగ௧) గ௧ cos(𝜃) (suggerimento: confrontare i grafici della trasformata di Fourier del segnale di partenza e di quello ricostruito e determinate come passare dall’uno all’altro campionando nel tempo). B ) Si trovi l'espressione del segnale ricostruito 𝑥ோ(𝑡) se 𝑇=ଵ ଺. Esercizio 3 Sia dato il processo casuale 𝑥௡ stazionario bianco a valor medio unitario e varianza unitaria. Il processo viene filtrato con un sistema LTI con risposta in frequenza 𝐻෩(𝑓)=ଵ ଶ +ଵ ଶ cos 2𝜋𝑓+ଵ ସ cos 4𝜋𝑓 ottenendo il processo filtrato 𝑦௡. A) Si trovi la potenza del processo filtrato 𝑦௡ (suggerimento: scegliete se fare i conti nel dominio della frequenza o in quello del tempo per semplificare i conti). B ) Si calcoli l’autocorrelazione del processo casuale 𝑧௡ =𝑦ହ௡ − 2 Soluzione Esercizio 1 del 16/7/2022 A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓). La trasformata di ቂୱ୧୬[ଶగ௧] గ௧ ቃ ଶ è 2 ∙𝑡𝑟𝑖ቀ௙ ଶቁ dove 𝑡𝑟𝑖(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓)∗𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓) La trasformata di ቂୱ୧୬[ଶగ௧] గ௧ ቃ ଶ sin(2𝜋𝑡) è 𝑗∙ቂ𝑡𝑟𝑖ቀ௙ାଵ ଶ ቁ−𝑡𝑟𝑖ቀ௙ିଵ ଶ ቁቃ La trasformata di 𝑥(𝑡)=ቂୱ୧୬[ଶగ(௧ିଵ)] గ(௧ିଵ) ቃ ଶ sin൫2𝜋(𝑡− 1)൯ è: 𝑋(𝑓)= 𝑗∙൤𝑡𝑟𝑖൬𝑓+ 1 2 ൰−𝑡𝑟𝑖൬𝑓− 1 2 ൰൨𝑒ି௝ଶగ௙ = =൤𝑡𝑟𝑖൬𝑓+ 1 2 ൰−𝑡𝑟𝑖൬𝑓− 1 2 ൰൨𝑒ି௝ቀଶగ௙ି గ ଶቁ B) Per tracciare il grafico del modulo e quello della fase di 𝐻(𝑓) si noti che: 𝐻(𝑓) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑡𝑟𝑖൬𝑓− 1 2 ൰𝑒ି௝ቀଶగ௙ା గ ଶቁ 1 <𝑓< 3…