Simulation of first partial exam

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Analisi Matematica II - Ingegneria Gestionale - A Aprile 2019 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali. Esercizio 1. Sia T : R3→ R3 l’applicazione lineare tale che T (e1) =   1 3 4   , T (e2) =   2 1 3   , T (e3) =   0 1 1   . Scrivere la matrice di rappresentazione di T rispetto alla base canonica di R3. Determinare dim ker T . 1 2 Esercizio 2. Data la matrice A =   6 0 0 0 6 0 4 2 8   , • determinarne autovalori e autovettori; • dire se la matrice ` e diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare la matrice di cambiamento di base che la diagonalizza e la matrice diagonale associata. 3 4 Esercizio 3. (a) Sia f(x, y) = log (x + y x− y ) . Determinare e disegnare nel piano l’insieme di definizione di f. Dire se f ` e differenziabile nel punto (1 , 0). In caso affermativo, scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 0, f(1, 0)). (b) Sia g(x, y) = (x + y)2 x2 + y2 , (x, y)∈ R2\{ (0, 0)}. Stabilire se esiste lim (x,y)→(0,0) f(x, y) e, in caso affermativo, determinarne il valore. Definita poi h(x, y) = xg(x, y), dimostrare che lim (x,y)→(0,0) h(x, y) = 0. 5