Soluzione appello 20 Gennaio

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Meccanica dei Fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica Soluzioni 20 Gennaio 2025 Soluzione 1 – Efflusso di controllo Il modulo della spinta esercitata dal liquido sulla paratoia vale: 𝑆=𝑝!∙𝐴=&𝛾(𝐻°−ℎ"2./ℎ"𝑠𝑖𝑛𝜃𝑏=2123.93 𝑁 (1) Per determinare l’altezza di liquido minima che apre la paratoia metallica è necessario valutare il centro di spinta 𝑦#, misurato a partire dal piano dei carichi idrostatici. 𝑦#=𝐼𝑀=𝐼$𝑀+𝑦! (2) 𝑦#=𝑏?ℎ"𝑠𝑖𝑛𝜃@% 12𝑀+𝐻−ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃 (3) Dove 𝑀=𝐴𝑟𝑒𝑎 ∙ 𝑦!= ℎ"𝑠𝑖𝑛𝜃𝑏∙𝐻−ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃 (4) Per cui 𝑦#=𝑏?ℎ"𝑠𝑖𝑛𝜃@% 12ℎ"𝑠𝑖𝑛𝜃𝑏∙𝐻−ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃+𝐻−ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃 (5) 𝑦#=𝑏?ℎ"𝑠𝑖𝑛𝜃@% 12 (𝑠𝑖𝑛𝜃)& ℎ"𝑏?𝐻−ℎ"2@+𝐻−ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃=ℎ"& 12𝑠𝑖𝑛𝜃?𝐻−ℎ"2@+𝐻−ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃 (6) Il braccio della spinta è quindi dato da 𝑏!=𝑦"−#$%!&'()=%!"*+&'(),#$#!"-+#$#!"&'()−#$%!&'() (7) 𝑏'=ℎ"& 12𝑠𝑖𝑛𝜃?𝐻−ℎ"2@+ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃 (8) 𝑏'=ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃F1+ℎ"6?𝐻−ℎ"2@H=ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃(1+ℎ"6𝐻−3ℎ".=ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃(6𝐻−2ℎ"6𝐻−3ℎ". (9) 𝑏'=ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃I𝐻−(!%𝐻−(!&J (10) --------------------------------------------------------approccio alternativo---------------------------------------------------------- In questa trattazione si indica il momento rispetto alla cerniera con Mo. Per determinare l’altezza di liquido minima che apre la paratoia metallica è necessario valutare il braccio della spinta 𝑏'. Tramite la definizione integrale del momento esercitato dalla spinta sulla paratoia, si ottiene: 𝑀𝑜=𝑆𝑏'=∫)𝑑(𝑆∙𝑦)=∫)𝑝(𝑦)∙𝑦𝑑𝐴 (7) 𝑀𝑜=NO𝛾P𝐻−ℎ"Q+𝛾𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃R𝑦𝑏𝑑𝑦(!*+,-./ (8) 𝑀𝑜=𝑏𝛾NOP𝐻−ℎ"Q+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃R𝑦𝑑𝑦(!*+,-./= 𝑏𝛾SNP𝐻−ℎ"Q𝑦𝑑𝑦+N𝑠𝑖𝑛𝜃𝑦&𝑑𝑦(!*+,-./ (!*+,-./ T (9) 𝑀𝑜=𝑏𝛾&P𝐻−ℎ"Qℎ"&2(𝑠𝑖𝑛𝜃)&+ℎ"%3(𝑠𝑖𝑛𝜃)&/ (10) Sfruttando questa definizione si ricava 𝑏', che è il braccio della spinta rispetto alla cerniera della paratoia. 𝑏'=0$'=123456(!7"!##(%&'()#8"!**(%&'()#9:2;5°6"!#=>"!%&'(1=3456(!7"!##(%&'()#8"!**(%&'()#9:;5°6"!#=>"!%&'( (11) Rielaborando: 𝑏'=ℎ"2𝑠𝑖𝑛𝜃F𝐻−ℎ"3𝐻−ℎ"2H (12) --------------------------------------------------fine…