Soluzionedellaprovadel20febbraio2018

Page 1

LOGICA E ALGEBRA 20 febbraio 2018 Esercizio 1 Sull’insieme Z×Z si consideri la relazione R definita come segue (a,b) R (c,d) se e solo se a c (mod 3) e b d (mod 5) Si dimostri che R è una relazione d’equivalenza e si determinino gli elementi dell’insieme quoziente. Descrivere in un opportuno linguaggio del primo ordine (specificando l’alfabeto usato e l’interpretazione usata) la relazione di congruenza a c (mod 3) interpretata dalla lettera predicativa C(a,c). Esercizio 2 Sia A l’insieme delle matrici quadrate di ordine 2 sul campo reale della forma Si provi che A, rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto di matrici, è un anello non commutativo privo di unità. Esercizio 3 Si consideri la formula Si dica se è un teorema di L e poi si provi il risultato trovato utilizzando la risoluzione. Esercizio 4 Si consideri la formula del primo ordine ) e l’interpretazione avente come dominio i reali R ed in cui la lettera predicativa B è interpretata come la relazione di uguaglianza, mentre A è la relazione di minore stretto < tra reali, e è la funzione esponenziale ex. Si dica se in tale interpretazione la formula è vera, falsa, soddisfacibile. Quali proprietà sono richieste ad una funzione f generica affinché soddisfi la precedente formula? La formula è logicamente valida? GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA Traccia Soluzione Esercizio 1 Dobbiamo verificare che la relazione sia:  riflessiva: (a,b) R (a,b) dato che a a (mod 3) e b b (mod 5) per la riflessività della relazione di congruenza modulo n;  simmetrica: se (a,b) R (c,d), allora a c (mod 3) e b d (mod 5), da cui segue (c,d) R (a,b) per la simmetria della relazione di congruenza modulo n;  transitiva: se (a,b) R (c,d) e (c,d) R (e,f) allora a c (mod 3), b d (mod 5) e c e (mod 3), d f (mod 5), da cui segue a e (mod 3)…