Soluzioneesame2febbraio2015

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LOGICA E ALGEBRA 2 febbraio 2015 PARTE DI ALGEBRA Esercizio 1 1) Si consideri l’insieme X = a,b,c,d,e,f e la relazione R sull’insieme X così definita: R = (a,d), (b,a), (c,a), (d,d) . a) Si costruisca la relazione d’equivalenza S generata da R e se ne determinino le classi d’equivalenza. b) Si consideri la chiusura riflessiva e transitiva R* di R e si dica se R* è una relazione d’ordine su X. In caso affermativo si indichino gli elementi massimali, minimali, massimi e minimi di X rispetto a R* e si dica se X rispetto a R* è un reticolo. In caso negativo si dica se esiste un sottoinsieme Y di X tale che Y rispetto a R* sia un reticolo . c) Si consideri infine la chiusura simmetrica T di R* e si dica se coincide con la relazione d’equivalenza generata da R*. Esercizio 2 Sia ( A, +, · ) un anello unitario. Si consideri l’operazione ◦ su A così definita: Aba  , a ◦ b = a + b + a · b a) Si provi che ( A, ◦ ) è un monoide. b) Si consideri l’applicazione f : A  A definita ponendo, per ogni a ϵ A, f (a) = a + 1. Si provi che f è un isomorfismo tra il monoide ( A, ◦ ) e il monoide ( A, · ). c) ( A, +, ◦ ) è un anello unitario? GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA Traccia di soluzione della parte di Algebra Esercizio 1 a) Rappresentiamo R attraverso il suo grafo di incidenza: a● ● b e ● c ● ● d f ● di conseguenza la relazione d’equivalenza S generata da R ha il seguente grafo d’incidenza: a● ● b e ● c ● ● d f ● Le classi di equivalenza di S sono le seguenti: [ a ]S = { a, b, c, d } [ e ]S = { e } [ f ]S = { f } b) La chiusura riflessiva e transitiva R* di R ha il seguente grafo di incidenza: a● ● b e ● c ● ● d f ● da cui si evince che R* è una relazione d’ordine in quanto è riflessiva e transitiva per costruzione ed inoltre è antisimmetrica in quanto da ogni vertice esce al più un…