Soluzioneprovadel23settembre2016

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LOGICA E ALGEBRA 23 SETTEMBRE 2016 PARTE DI ALGEBRA Esercizio 1 Sia N = {0, 1, 2, 3, …} l’insieme dei numeri naturali e si consideri la funzione NNf : definita nel seguente modo:      disparièse1 parèse32)( 2 nn innnfNn a) Stabilire se f ammette inverse sinistre e/o destre e, in caso affermativo, fornirne un esempio. b) Posto }5|)({  nnfX , si definisca su X la seguente relazione binaria R: )()( e primo numeroun è )()())(),(()(),( 21212121 nfnfnfnfsseRnfnfXnfnf  Stabilire quali proprietà soddisfa R. Può esistere la chiusura d’ordine T di R? In caso affermativo la si calcoli e si determinino, se esistono, elementi massimali, minimali, massimo e minimo di X rispetto a T. c) Si definisca su X la seguente relazione binaria S: primi.numerientrambisono)(),())(),(()(),( 212121 nfnfsseSnfnfXnfnf  Stabilire quali proprietà soddisfa S. Si determini la chiusura d’equivalenza  di S e l’insieme quoziente di X rispetto a . Esercizio 2 Si consideri l’anello ),,( 9 Z . a) Si risolva l’equazione 99 ]3[]6[  x . b) Si forniscano due esempi di equazioni lineari a coefficienti in ),,( 9 Z in modo tale che la prima equazione risulti impossibile mentre la seconda ammetta una sola soluzione. c) Si verifichi se il sottoinsieme }]6[,]3[,]0{[ 999I di ),,( 9 Z è un ideale bilatero di ),,( 9 Z . d) Si stabilisca se esistono ideali propri di ),,( 9 Z che contengono propriamente I e, in caso affermativo, se ne fornisca un esempio. GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA Traccia di soluzione Esercizio 1 a) La funzione f è iniettiva, infatti se n ed m sono uno pari ed uno dispari le loro immagini sono rispettivamente dispari e pari e quindi sono diverse; se n ed m sono entrambi pari allora f (n) = f (m) significa 2n + 3 = 2m + 3 da cui n = m; se n ed m sono entrambi dispari allora…