Soluzioneprovadialgebra27luglio2016

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Logica ed algebra 27/7/2016 Parte di algebra Esercizio 1 Sia X = {a, b, c, d, e, f} e sia R  X  X la relazione con la seguente matrice di incidenza: 1. Determinare le proprietà di R. 2. Trovare la relazione di equivalenza  generata da R e determinarne le -classi. 3. Dire se esiste la minima relazione d’ordine T contenente R e in caso affermativo trovare, se esistono sup(c,d), inf(c,d), gli elementi massimali, minimali, massimi e minimi di X rispetto a T. 4. Dire se esistono funzioni contenute in R e funzioni contenute in T e, in caso affermativo, calcolare il loro numero. Esercizio 2 Sia A = {p(x)Z[x] | p (2) = 0}, dove Z[x] è l’anello dei polinomi nell’indeterminata x. 1. Mostrare che A è un anello rispetto alle usuali operazioni di addizione e moltiplicazione di polinomi. 2. Si provi che l’applicazione f : A  Z che manda ogni polinomio p(x) nel suo termine noto p0 è un omomorfismo fra anelli. E’ un epimorfismo? 3. Mostrare che la relazione   A  A definita da  p(x), q(x)  A (p(x), q(x))   se e solo se il termine noto di p(x) - q(x) è nullo è una relazione di congruenza su A e che A/ è isomorfo all’anello degli interi pari. MOTIVARE OGNI RISPOSTA TRACCIA DI SOLUZIONE Esercizio 1 1. R non soddisfa la proprietà seriale in quanto sulle ultime due righe no n è presente alcun 1, non soddisfa la proprietà riflessiva poiché sulla diagonale principale ci sono alcuni zeri, non soddisfa la proprietà simmetrica essendo la matrice di incidenza non simmetrica rispetto alla diagonale principale e non soddisfa la proprietà transitiva in quanto , ad esempio, (a, c) ϵ R, (c, e) ϵ R ma (a, e)  R. R invece soddisfa la proprietà antisimmetrica poiché, sommando la matrice di incidenza alla sua trasposta, gli unici elementi uguali a 2 che si ottengono si trovano sulla…