Successioni

Page 1

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’ Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Appunti di lezione (E) 1 Successioni reali Una successione reale è una funzione f : n7! an = f (n) : N! R che associa ad ogni intero naturalen (eventualmente maggiore di un determinato valoren) un unico valore reale an. Esempio. Siaa 0. La restrizione agli interi naturali della funzione reale di variabile realef :x7!y =f (x) : [a; +1)! R de nisce la successione an = f (n), n  n, ove n = a se a è intero e n = 1 + bac se a non è intero. Ad esempio: f (x) = px 3 de nisce la successione an = pn 3, n  3; f (x) = log x p 2
de nisce la successione an = log n p 2
, n 2. Viceversa, data la successione an = f (n), n n, non è sempre detto che la prescrizione di sostituire in f (n) la variabile interan con quella reale x permetta di ottenere una funzione reale, come mostra il seguente esempio 1: an =f (n) =n!,n 0, è una successione maf (x) =x! non ha senso per x reale non intero naturale. Le nozioni di monotonia, limitatezza e limite di una successione sono esplici- tamente le seguenti2: successione crescente: 8n0 8n00 n0 < n00 =)an0 <a n00 successione decrescente: 8n0 8n00 n0 < n00 =)an0 >a n00 0Aggiornamento: 20 ottobre 2020 1Il simbolo n! (da leggersi fattoriale di n) indica il prodotto di tutti gli interi naturali da 1 ad n incluso, cioè n! = n (n 1)


2
1, n 1. Ad esempio, si ha 1! = 1 , 2! = 2 , 3! = 6 , 4! = 24 , ecc. Si usa poi porre, per de nizione, 0! = 1 . 2Se una successione è crescente (o decrescente) a partire da un certo valore di n in poi, cioè per nn, si usa dire che essa è de nitivamente crescente (o decrescente). M. V erri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 2 successione superiormente limitata: supan :=…