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Analisi Matematica 2 - 25 giugno 2018 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 9) (a) Determinare massimi e minimi globali e locali della funzione f definita da f(x,y ) = 2− 2y2−x2−x ristretta all’insieme C ={(x,y )∈ R2; x2 + 2y2≤ 1} (b) Che cosa si pu` o dire sui massimi e minimi globali e locali, sempre su C, della funzione f 132 ? 2. (Punti 9) Sia data la funzione f, periodica di periodo π 2 , definita ponendo f(x) = sinx ∀x∈ [0,π 2 ) Dopo aver disegnato un grafico qualitativo di f, scrivere la serie di Fourier di f; (si ricorda che sin(α) cos(β) = 1 2 (sin(α +β)− sin(β−α)) sin(α) sin(β) = 1 2 (cos(β−α)− cos(α +β)).) Calcolare la somma della serie in x = 0. Dire poi se tale risultato era prevedibile. 3. (Punti 10) Data l’equazione differenziale y′ = (y + 1) sinx (a) verificare che tutte le soluzioni hanno un estremante (massimo o minimo locale) in x =π; (b) risolvere, per y0∈ R, il problema di Cauchy con condizione iniziale y(0) =y0; (c) stabilire se esistono valori y0 per cui si pu` o garantire che la soluzione del relativo problema di Cauchy ` e non costante e negativa su R.
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