tema desame del 28 Giugno 2018

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Analisi e Geometria 2 - 28 Giugno 2018 Ogni risposta deve essere giusti cata ed i calcoli riportati. Gli esercizi vanno svolti su fogli forniti dal docente. I fogli di brutta non devono essere conseg- nati. Durante la prova non  e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Versione 1 Esercizio 1. Nel piano cartesiano si consideri l'ellisse E di equazione 7x2 18xy + 39y2 + 16x 48y = 0: Si determinino il massimo e il minimo assoluti della funzione f (x;y ) = x 3y sull'insieme f(x;y ) 2 R2 : 7x2 18xy + 39y2 + 16x 48y  0g dei punti che sono interni all'ellisse o che giacciono sul bordo dell'ellisse. Soluzione. Essendo E un'ellisse, il dominio su cui cerchiamo gli estremi  e un insieme compatto. E inoltre evidente che f  e continua. Il Teorema di Weierstrass garantisce allora l'esistenza di estremi assoluti per f . Il gradiente della funzione f  e∇f =⃗i 3⃗j e non si annulla mai. Quindi, f non ha punti stazionari, e di conseguenza, i punti di massimo e minimo saranno sulla curva E. Il problema da risolvere  e allora un problema di estremo vincolato. Primo modo. La lagrangiana del problema  e L(x;y; ) = x 3y + ( 7x2 18xy + 39y2 + 16x 48y ) : I punti stazionari sono le soluzioni del sistema8 < : 1 + (14x 18y + 16) = 0 3 + ( 18x + 78y 48) = 0 7x2 18xy + 39y2 + 16x 48y = 0 : Con calcoli non difficili, si ottengono le due soluzioni x = 0;y = 0; = 1=16 e x = 1;y = 1; = 1=16. Poich ef (0; 0) = 0 e f ( 1; 1) = 4, abbiamo che (0 ; 0)  e punto di massimo assoluto per f nel dominio, con il massimo che vale 0, mentre ( 1; 1)  e il punto di minimo assoluto per f nel dominio, con il minimo che vale 4. Secondo modo. Gli insiemi di livello di f sono rette di equazione x 3y =c, con c 2 R. Se una tale retta  e secante ad E, ossia…