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Fluidodinamica, mercoled ` ı 8 febbraio 2012 Parte di Fluidodinamica I Domanda 1 Le componenti cartesiane della velocit` a di una corrente pi ana dipendente dal tempo sono date dalle relazioni u(x, y, t) = x 1 + t e v(x, y, t) = 2y 2 + t dove tutte le variabili sono adimensionali. Determinare le traiettorie delle particelle di fluido che all ’istante iniziale t = 0 si trovano nella posizione R0 = (x0, y0). Domanda 2 Consideriamo un campo di velocit` a unidirezionale u(x, t) = u(x, t) ˆx. La densit` aρ del fluido varia secondo la legge ρ(t) = ρ0[2 − cos(ωt)] dove ρ0 e ω sono costanti note. a) Trovare l’andamento del campo di velocit` a per t > 0 conoscendo la condizione u(x, t) = U ˆx, con U costante nota. b) Determinare la velocit` a nel punto x = U/ω all’istante t = 1/ω nel caso in cui U = 2.5 m/s. Esercizio 1 Attorno a un cilindro circolare di raggio a rotante con velocit` a angolare Ω0 un fluido viscoso ha inizialmente un moto puramente circolare con vel ocit` a data dalla seguente espressione, in coordinate cilindriche, uθ(R) = Ω0a2 R , per cui la circolazione lungo qualunque percorso attorno al cilindro vale Γ0 = 2 πΩ0a2. All’istante iniziale t = 0 la rotazione del cilindro ` e arrestata di colpo. Dalle equ azioni di Navier–Stokes per le correnti incomprimibili si pu` o ricavare l’equazione che g overna l’evoluzione della componente della velocit` auθ(R, t) ∂uθ ∂t = ν ∂ ∂R ( 1 R ∂ ∂R (Ruθ) ) Determinare il modo in cui decade il vortice assumendo come v ariabile incognita del problema la variabile adimensionale γ = Ruθ/(Ω0a2) al posto di uθ, sapendo che in termini della nuova incognita γ il vortice evolve con una dipendenza dal tempo e dalla coordi nata radiale R (distanza dall’asse z) secondo la variable di similarit` a ξ = R2/(νt). 1 Parte di Aerodinamica I Domanda…