Terzo Appello 26 08 22

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Segnali per le comunicazioni –Appello del 26/8/2022 Gli esercizi devono essere svolti nel tempo massimo di 2h Esercizio 1 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) =ቈୱ୧୬ቂଶగቀ௧ିయ మቁቃ గቀ௧ିయ మቁ ቉ ଶ sinቀ2𝜋ଶ ଷ 𝑡ቁ A ) Si trovi l'espressione analitica della sua trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) B ) Si traccino i grafici del modulo e della fase di 𝑋(𝑓). Esercizio 2 Si campioni il segnale tempo continuo 𝑥(𝑡)=ୱ୧୬(ସగ௧) గ௧ cos(32𝜋𝑡) con intervallo di campionamento 𝑇=ଵ ଻ ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. A ) Si disegni la trasformata di Fourier del segnale discreto 𝑥௡ sia in frequenza che in frequenza normalizzata. B ) Si trovi l'espressione del segnale ricostruito 𝑥ோ(𝑡) C ) Si trovi l'espressione della DFT del segnale discreto ottenuto campionando il segnale originale 𝑥(𝑡) con intervallo di campionamento 𝑇=ଵ ସ Esercizio 3 Sia dato il processo casuale 𝑥௡ stazionario a valor medio unitario e varianza unitaria e coefficiente di correlazione 𝜌௫[𝑚] =ୱ୧୬ గ೘ మ గ೘ మ . Il processo viene filtrato con un sistema LTI con risposta in frequenza 𝐻෩(𝑓)=ଵ ଶ +ଵ ଶ cos 4𝜋𝑓 ottenendo il processo filtrato 𝑦௡. A) Si disegni il grafico della densità spettrale di potenza del processo dato 𝑥௡. B) Si trovi la potenza del processo filtrato 𝑦௡. C) Si calcoli l’autocorrelazione del processo casuale 𝑧௡ =𝑥ଶ௡ − 1 Soluzione Esercizio 1 del 26/8/2022 A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓). La trasformata di ቂୱ୧୬[ଶగ௧] గ௧ ቃ ଶ è 2 ∙𝑡𝑟𝑖ቀ௙ ଶቁ dove 𝑡𝑟𝑖(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓)∗𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓) La trasformata di ቈୱ୧୬ቂଶగቀ௧ିయ మቁቃ గቀ௧ିయ మቁ ቉ ଶ è 2 ∙𝑡𝑟𝑖ቀ௙ ଶቁ𝑒ି௝ଶగయ మ௙ La trasformata di 𝑥(𝑡)=ቈୱ୧୬ቂଶగቀ௧ିయ మቁቃ గቀ௧ିయ మቁ ቉ ଶ sinቀ2𝜋ଶ ଷ 𝑡ቁ è 𝑋(𝑓)=𝑗∙ቈ𝑡𝑟𝑖ቆ௙ା మ య ଶ ቇ𝑒ି௝ଶగయ మቀ௙ା మ యቁ −𝑡𝑟𝑖ቆ௙ି మ య ଶ ቇ𝑒ି௝ଶగయ మቀ௙ି మ యቁ቉= =𝑗∙቎𝑡𝑟𝑖ቌ𝑓+2 3 2 ቍ −𝑡𝑟𝑖ቌ𝑓−2 3 2 ቍ቏𝑒ି௝ଶగଷ ଶ௙ B) Per tracciare il grafico del modulo e quello della fase di 𝐻(𝑓) si noti che: 𝐻(𝑓)= ⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎧…